Theorem mulcmpblnrlem 9468

Description: Lemma used in lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 4-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcmpblnrlem

Proof of Theorem mulcmpblnrlem

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6303	. . . . . . . . 9
2		distrpr 9427	. . . . . . . . . 10
3		mulcompr 9422	. . . . . . . . . 10
4		mulcompr 9422	. . . . . . . . . . 11
5		mulcompr 9422	. . . . . . . . . . 11
6	4, 5	oveq12i 6308	. . . . . . . . . 10
7	2, 3, 6	3eqtr4i 2496	. . . . . . . . 9
8		distrpr 9427	. . . . . . . . . 10
9		mulcompr 9422	. . . . . . . . . 10
10		mulcompr 9422	. . . . . . . . . . 11
11		mulcompr 9422	. . . . . . . . . . 11
12	10, 11	oveq12i 6308	. . . . . . . . . 10
13	8, 9, 12	3eqtr4i 2496	. . . . . . . . 9
14	1, 7, 13	3eqtr3g 2521	. . . . . . . 8
15	14	oveq1d 6311	. . . . . . 7
16		addasspr 9421	. . . . . . . 8
17		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10
18		distrpr 9427	. . . . . . . . . 10
19		distrpr 9427	. . . . . . . . . 10
20	17, 18, 19	3eqtr3g 2521	. . . . . . . . 9
21	20	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
22	16, 21	syl5eq 2510	. . . . . . 7
23	15, 22	sylan9eq 2518	. . . . . 6
24		ovex 6324	. . . . . . 7
25		ovex 6324	. . . . . . 7
26		ovex 6324	. . . . . . 7
27		addcompr 9420	. . . . . . 7
28		addasspr 9421	. . . . . . 7
29	24, 25, 26, 27, 28	caov32 6502	. . . . . 6
30		ovex 6324	. . . . . . 7
31		ovex 6324	. . . . . . 7
32		ovex 6324	. . . . . . 7
33	30, 31, 32, 27, 28	caov12 6503	. . . . . 6
34	23, 29, 33	3eqtr3g 2521	. . . . 5
35	34	oveq2d 6312	. . . 4
36		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11
37		distrpr 9427	. . . . . . . . . . 11
38		distrpr 9427	. . . . . . . . . . 11
39	36, 37, 38	3eqtr3g 2521	. . . . . . . . . 10
40	39	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
41		addasspr 9421	. . . . . . . . 9
42	40, 41	syl6eqr 2516	. . . . . . . 8
43		oveq1 6303	. . . . . . . . . 10
44		distrpr 9427	. . . . . . . . . . 11
45		mulcompr 9422	. . . . . . . . . . 11
46		mulcompr 9422	. . . . . . . . . . . 12
47		mulcompr 9422	. . . . . . . . . . . 12
48	46, 47	oveq12i 6308	. . . . . . . . . . 11
49	44, 45, 48	3eqtr4i 2496	. . . . . . . . . 10
50		distrpr 9427	. . . . . . . . . . 11
51		mulcompr 9422	. . . . . . . . . . 11
52		mulcompr 9422	. . . . . . . . . . . 12
53		mulcompr 9422	. . . . . . . . . . . 12
54	52, 53	oveq12i 6308	. . . . . . . . . . 11
55	50, 51, 54	3eqtr4i 2496	. . . . . . . . . 10
56	43, 49, 55	3eqtr3g 2521	. . . . . . . . 9
57	56	oveq1d 6311	. . . . . . . 8
58	42, 57	sylan9eqr 2520	. . . . . . 7
59		ovex 6324	. . . . . . . 8
60		ovex 6324	. . . . . . . 8
61	59, 25, 60, 27, 28	caov12 6503	. . . . . . 7
62		ovex 6324	. . . . . . . 8
63		ovex 6324	. . . . . . . 8
64	62, 31, 63, 27, 28	caov32 6502	. . . . . . 7
65	58, 61, 64	3eqtr3g 2521	. . . . . 6
66	65	oveq1d 6311	. . . . 5
67		addasspr 9421	. . . . 5
68	66, 67	syl6eq 2514	. . . 4
69	35, 68	eqtr4d 2501	. . 3
70		ovex 6324	. . . 4
71		ovex 6324	. . . 4
72	70, 71, 25, 27, 28	caov13 6505	. . 3
73		addasspr 9421	. . 3
74	69, 72, 73	3eqtr3g 2521	. 2
75	24, 26, 62, 27, 28, 63	caov4 6506	. . 3
76	75	oveq2i 6307	. 2
77	59, 60, 30, 27, 28, 32	caov42 6508	. . 3
78	77	oveq2i 6307	. 2
79	74, 76, 78	3eqtr3g 2521	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  (class class class)co 6296  cpp 9260  cmp 9261

This theorem is referenced by:  mulcmpblnr  9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-plp 9382  df-mp 9383