MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcn2 Unicode version

Theorem mulcn2 12440
Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulcn2
Distinct variable groups:   , , , ,   , , , ,   , , , ,

Proof of Theorem mulcn2
StepHypRef Expression
1 rphalfcl 10687 . . . 4
213ad2ant1 979 . . 3
3 abscl 12134 . . . . . 6
433ad2ant3 981 . . . . 5
5 abscl 12134 . . . . . . . . . 10
653ad2ant2 980 . . . . . . . . 9
7 1re 9141 . . . . . . . . 9
8 readdcl 9124 . . . . . . . . 9
96, 7, 8sylancl 645 . . . . . . . 8
10 absge0 12143 . . . . . . . . . 10
11 0lt1 9601 . . . . . . . . . . 11
12 addgegt0 9566 . . . . . . . . . . . 12
1312an4s 801 . . . . . . . . . . 11
147, 11, 13mpanr12 668 . . . . . . . . . 10
155, 10, 14syl2anc 644 . . . . . . . . 9
16153ad2ant2 980 . . . . . . . 8
179, 16elrpd 10697 . . . . . . 7
182, 17rpdivcld 10716 . . . . . 6
1918rpred 10699 . . . . 5
204, 19readdcld 9166 . . . 4
21 absge0 12143 . . . . . 6
22213ad2ant3 981 . . . . 5
23 elrp 10665 . . . . . 6
24 addgegt0 9566 . . . . . . 7
2524an4s 801 . . . . . 6
2623, 25sylan2b 463 . . . . 5
274, 22, 18, 26syl21anc 1184 . . . 4
2820, 27elrpd 10697 . . 3
292, 28rpdivcld 10716 . 2
30 simprl 734 . . . . . . . . . . 11
31 simpl2 962 . . . . . . . . . . 11
3230, 31subcld 9462 . . . . . . . . . 10
3332abscld 12289 . . . . . . . . 9
342adantr 453 . . . . . . . . . 10
3534rpred 10699 . . . . . . . . 9
3628adantr 453 . . . . . . . . 9
3733, 35, 36ltmuldivd 10742 . . . . . . . 8
38 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14
39 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . 14
4038, 39abs2difd 12310 . . . . . . . . . . . . 13
4138abscld 12289 . . . . . . . . . . . . . . 15
424adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
4341, 42resubcld 9516 . . . . . . . . . . . . . 14
4438, 39subcld 9462 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544abscld 12289 . . . . . . . . . . . . . 14
4619adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
47 lelttr 9216 . . . . . . . . . . . . . 14
4843, 45, 46, 47syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13
4940, 48mpand 658 . . . . . . . . . . . 12
5041, 42, 46ltsubadd2d 9675 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50sylibd 207 . . . . . . . . . . 11
5220adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
53 ltle 9214 . . . . . . . . . . . 12
5441, 52, 53syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
5551, 54syld 43 . . . . . . . . . 10
5632absge0d 12297 . . . . . . . . . . 11
57 lemul2a 9916 . . . . . . . . . . . 12
5857ex 425 . . . . . . . . . . 11
5941, 52, 33, 56, 58syl112anc 1189 . . . . . . . . . 10
6033, 41remulcld 9167 . . . . . . . . . . . 12
6133, 52remulcld 9167 . . . . . . . . . . . 12
62 lelttr 9216 . . . . . . . . . . . 12
6360, 61, 35, 62syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
6463exp3a 427 . . . . . . . . . 10
6555, 59, 643syld 54 . . . . . . . . 9
6665com23 75 . . . . . . . 8
6737, 66sylbird 228 . . . . . . 7
6867imp3a 422 . . . . . 6
6932, 38absmuld 12307 . . . . . . . 8
7030, 31, 38subdird 9541 . . . . . . . . 9
7170fveq2d 5779 . . . . . . . 8
7269, 71eqtr3d 2477 . . . . . . 7
7372breq1d 4253 . . . . . 6
7468, 73sylibd 207 . . . . 5
7517adantr 453 . . . . . . . 8
7645, 35, 75ltmuldiv2d 10743 . . . . . . 7
7731, 38, 39subdid 9540 . . . . . . . . . . 11
7877fveq2d 5779 . . . . . . . . . 10
7931, 44absmuld 12307 . . . . . . . . . 10
8078, 79eqtr3d 2477 . . . . . . . . 9
8131abscld 12289 . . . . . . . . . . 11
8281lep1d 9993 . . . . . . . . . 10
839adantr 453 . . . . . . . . . . 11
84 abscl 12134 . . . . . . . . . . . . 13
85 absge0 12143 . . . . . . . . . . . . 13
8684, 85jca 520 . . . . . . . . . . . 12
87 lemul1a 9915 . . . . . . . . . . . . 13
8887ex 425 . . . . . . . . . . . 12
8986, 88syl3an3 1220 . . . . . . . . . . 11
9081, 83, 44, 89syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
9182, 90mpd 15 . . . . . . . . 9
9280, 91eqbrtrd 4263 . . . . . . . 8
9331, 38mulcld 9159 . . . . . . . . . . 11
9431, 39mulcld 9159 . . . . . . . . . . 11
9593, 94subcld 9462 . . . . . . . . . 10
9695abscld 12289 . . . . . . . . 9
9783, 45remulcld 9167 . . . . . . . . 9
98 lelttr 9216 . . . . . . . . 9
9996, 97, 35, 98syl3anc 1185 . . . . . . . 8
10092, 99mpand 658 . . . . . . 7
10176, 100sylbird 228 . . . . . 6
102101adantld 455 . . . . 5
10374, 102jcad 521 . . . 4
104 mulcl 9125 . . . . . 6
105104adantl 454 . . . . 5
106 simpl1 961 . . . . . 6
107106rpred 10699 . . . . 5
108 abs3lem 12193 . . . . 5
109105, 94, 93, 107, 108syl22anc 1186 . . . 4
110103, 109syld 43 . . 3
111110ralrimivva 2805 . 2
112 breq2 4247 . . . . . 6
113112anbi1d 687 . . . . 5
114113imbi1d 310 . . . 4
1151142ralbidv 2754 . . 3
116 breq2 4247 . . . . . 6
117116anbi2d 686 . . . . 5
118117imbi1d 310 . . . 4
1191182ralbidv 2754 . . 3
120115, 119rspc2ev 3069 . 2
12129, 18, 111, 120syl3anc 1185 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 360  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728  A.wral 2712  E.wrex 2713   class class class wbr 4243  `cfv 5501  (class class class)co 6129   cc 9039   cr 9040  0cc0 9041  1c1 9042   caddc 9044   cmul 9046   clt 9171   cle 9172   cmin 9342   cdiv 9728  2c2 10100   crp 10663   cabs 12090
This theorem is referenced by:  climmul  12477  rlimmul  12489  mulcn  18948  mulc1cncf  18986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118  ax-pre-sup 9119
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-sup 7495  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-div 9729  df-nn 10052  df-2 10109  df-3 10110  df-n0 10273  df-z 10334  df-uz 10540  df-rp 10664  df-seq 11375  df-exp 11434  df-cj 11955  df-re 11956  df-im 11957  df-sqr 12091  df-abs 12092
  Copyright terms: Public domain W3C validator