Theorem muleqadd 10218

Description: Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 13-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
muleqadd

Proof of Theorem muleqadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 9571	. . . . 5
2		mulsub 10024	. . . . . 6
3	1, 2	mpanr2 684	. . . . 5
4	1, 3	mpanl2 681	. . . 4
5	1	mulid1i 9619	. . . . . . 7
6	5	oveq2i 6307	. . . . . 6
7	6	a1i 11	. . . . 5
8		mulid1 9614	. . . . . 6
9		mulid1 9614	. . . . . 6
10	8, 9	oveqan12d 6315	. . . . 5
11	7, 10	oveq12d 6314	. . . 4
12		mulcl 9597	. . . . 5
13		addcl 9595	. . . . 5
14		addsub 9854	. . . . . 6
15	1, 14	mp3an2 1312	. . . . 5
16	12, 13, 15	syl2anc 661	. . . 4
17	4, 11, 16	3eqtrd 2502	. . 3
18	17	eqeq1d 2459	. 2
19	1	addid2i 9789	. . . 4
20	19	eqeq2i 2475	. . 3
21	12, 13	subcld 9954	. . . 4
22		0cn 9609	. . . . 5
23		addcan2 9786	. . . . 5
24	22, 1, 23	mp3an23 1316	. . . 4
25	21, 24	syl 16	. . 3
26	20, 25	syl5rbbr 260	. 2
27	12, 13	subeq0ad 9964	. 2
28	18, 26, 27	3bitr2rd 282	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828

This theorem is referenced by:  conjmul  10286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831