MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulerpq Unicode version

Theorem mulerpq 9356
Description: Multiplication is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulerpq

Proof of Theorem mulerpq
StepHypRef Expression
1 nqercl 9330 . . . 4
2 nqercl 9330 . . . 4
3 mulpqnq 9340 . . . 4
41, 2, 3syl2an 477 . . 3
5 enqer 9320 . . . . . 6
65a1i 11 . . . . 5
7 nqerrel 9331 . . . . . . 7
87adantr 465 . . . . . 6
9 elpqn 9324 . . . . . . . . 9
101, 9syl 16 . . . . . . . 8
11 mulerpqlem 9354 . . . . . . . . 9
12113exp 1195 . . . . . . . 8
1310, 12mpd 15 . . . . . . 7
1413imp 429 . . . . . 6
158, 14mpbid 210 . . . . 5
16 nqerrel 9331 . . . . . . . 8
1716adantl 466 . . . . . . 7
18 elpqn 9324 . . . . . . . . . 10
192, 18syl 16 . . . . . . . . 9
20 mulerpqlem 9354 . . . . . . . . . 10
21203exp 1195 . . . . . . . . 9
2219, 21mpd 15 . . . . . . . 8
2310, 22mpan9 469 . . . . . . 7
2417, 23mpbid 210 . . . . . 6
25 mulcompq 9351 . . . . . 6
26 mulcompq 9351 . . . . . 6
2724, 25, 263brtr3g 4483 . . . . 5
286, 15, 27ertrd 7346 . . . 4
29 mulpqf 9345 . . . . . 6
3029fovcl 6407 . . . . 5
3129fovcl 6407 . . . . . 6
3210, 19, 31syl2an 477 . . . . 5
33 nqereq 9334 . . . . 5
3430, 32, 33syl2anc 661 . . . 4
3528, 34mpbid 210 . . 3
364, 35eqtr4d 2501 . 2
37 0nnq 9323 . . . . . . . 8
38 nqerf 9329 . . . . . . . . . . . 12
3938fdmi 5741 . . . . . . . . . . 11
4039eleq2i 2535 . . . . . . . . . 10
41 ndmfv 5895 . . . . . . . . . 10
4240, 41sylnbir 307 . . . . . . . . 9
4342eleq1d 2526 . . . . . . . 8
4437, 43mtbiri 303 . . . . . . 7
4544con4i 130 . . . . . 6
4639eleq2i 2535 . . . . . . . . . 10
47 ndmfv 5895 . . . . . . . . . 10
4846, 47sylnbir 307 . . . . . . . . 9
4948eleq1d 2526 . . . . . . . 8
5037, 49mtbiri 303 . . . . . . 7
5150con4i 130 . . . . . 6
5245, 51anim12i 566 . . . . 5
5352con3i 135 . . . 4
54 mulnqf 9348 . . . . . 6
5554fdmi 5741 . . . . 5
5655ndmov 6459 . . . 4
5753, 56syl 16 . . 3
58 0nelxp 5032 . . . . . 6
5939eleq2i 2535 . . . . . 6
6058, 59mtbir 299 . . . . 5
6129fdmi 5741 . . . . . . 7
6261ndmov 6459 . . . . . 6
6362eleq1d 2526 . . . . 5
6460, 63mtbiri 303 . . . 4
65 ndmfv 5895 . . . 4
6664, 65syl 16 . . 3
6757, 66eqtr4d 2501 . 2
6836, 67pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   c0 3784   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  Erwer 7327   cnpi 9243   cmpq 9248   ceq 9250   cnq 9251   cerq 9253   cmq 9255
This theorem is referenced by:  mulassnq  9358  distrnq  9360  recmulnq  9363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-mpq 9308  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-mq 9314  df-1nq 9315
  Copyright terms: Public domain W3C validator