MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulexp Unicode version

Theorem mulexp 12205
Description: Positive integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
mulexp

Proof of Theorem mulexp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . 6
2 oveq2 6304 . . . . . . 7
3 oveq2 6304 . . . . . . 7
42, 3oveq12d 6314 . . . . . 6
51, 4eqeq12d 2479 . . . . 5
65imbi2d 316 . . . 4
7 oveq2 6304 . . . . . 6
8 oveq2 6304 . . . . . . 7
9 oveq2 6304 . . . . . . 7
108, 9oveq12d 6314 . . . . . 6
117, 10eqeq12d 2479 . . . . 5
1211imbi2d 316 . . . 4
13 oveq2 6304 . . . . . 6
14 oveq2 6304 . . . . . . 7
15 oveq2 6304 . . . . . . 7
1614, 15oveq12d 6314 . . . . . 6
1713, 16eqeq12d 2479 . . . . 5
1817imbi2d 316 . . . 4
19 oveq2 6304 . . . . . 6
20 oveq2 6304 . . . . . . 7
21 oveq2 6304 . . . . . . 7
2220, 21oveq12d 6314 . . . . . 6
2319, 22eqeq12d 2479 . . . . 5
2423imbi2d 316 . . . 4
25 mulcl 9597 . . . . . 6
26 exp0 12170 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
28 exp0 12170 . . . . . . 7
29 exp0 12170 . . . . . . 7
3028, 29oveqan12d 6315 . . . . . 6
31 1t1e1 10708 . . . . . 6
3230, 31syl6eq 2514 . . . . 5
3327, 32eqtr4d 2501 . . . 4
34 expp1 12173 . . . . . . . . . 10
3525, 34sylan 471 . . . . . . . . 9
3635adantr 465 . . . . . . . 8
37 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
38 expcl 12184 . . . . . . . . . . . . 13
39 expcl 12184 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12
4140anandirs 831 . . . . . . . . . . 11
42 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
43 mul4 9770 . . . . . . . . . . 11
4441, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
45 expp1 12173 . . . . . . . . . . . 12
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
47 expp1 12173 . . . . . . . . . . . 12
4847adantll 713 . . . . . . . . . . 11
4946, 48oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
5044, 49eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
5137, 50sylan9eqr 2520 . . . . . . . 8
5236, 51eqtrd 2498 . . . . . . 7
5352exp31 604 . . . . . 6
5453com12 31 . . . . 5
5554a2d 26 . . . 4
566, 12, 18, 24, 33, 55nn0ind 10984 . . 3
5756expdcom 439 . 2
58573imp 1190 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cn0 10820   cexp 12166
This theorem is referenced by:  mulexpz  12206  expdiv  12216  expubnd  12226  sqmul  12231  mulexpd  12325  efi4p  13872  logtayl2  23043  ipidsq  25623  fprodexp  31600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator