MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulexpz Unicode version

Theorem mulexpz 12206
Description: Integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulexpz

Proof of Theorem mulexpz
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 10903 . . 3
2 simpl 457 . . . . . 6
3 simpl 457 . . . . . 6
42, 3anim12i 566 . . . . 5
5 mulexp 12205 . . . . . 6
653expa 1196 . . . . 5
74, 6sylan 471 . . . 4
8 simplll 759 . . . . . . 7
9 simplrl 761 . . . . . . 7
108, 9mulcld 9637 . . . . . 6
11 recn 9603 . . . . . . 7
1211ad2antrl 727 . . . . . 6
13 nnnn0 10827 . . . . . . 7
1413ad2antll 728 . . . . . 6
15 expneg2 12175 . . . . . 6
1610, 12, 14, 15syl3anc 1228 . . . . 5
17 expneg2 12175 . . . . . . . 8
188, 12, 14, 17syl3anc 1228 . . . . . . 7
19 expneg2 12175 . . . . . . . 8
209, 12, 14, 19syl3anc 1228 . . . . . . 7
2118, 20oveq12d 6314 . . . . . 6
22 mulexp 12205 . . . . . . . . . 10
238, 9, 14, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
2423oveq2d 6312 . . . . . . . 8
25 1t1e1 10708 . . . . . . . . 9
2625oveq1i 6306 . . . . . . . 8
2724, 26syl6eqr 2516 . . . . . . 7
28 expcl 12184 . . . . . . . . 9
298, 14, 28syl2anc 661 . . . . . . . 8
30 simpllr 760 . . . . . . . . 9
31 nnz 10911 . . . . . . . . . 10
3231ad2antll 728 . . . . . . . . 9
33 expne0i 12198 . . . . . . . . 9
348, 30, 32, 33syl3anc 1228 . . . . . . . 8
35 expcl 12184 . . . . . . . . 9
369, 14, 35syl2anc 661 . . . . . . . 8
37 simplrr 762 . . . . . . . . 9
38 expne0i 12198 . . . . . . . . 9
399, 37, 32, 38syl3anc 1228 . . . . . . . 8
40 ax-1cn 9571 . . . . . . . . 9
41 divmuldiv 10269 . . . . . . . . 9
4240, 40, 41mpanl12 682 . . . . . . . 8
4329, 34, 36, 39, 42syl22anc 1229 . . . . . . 7
4427, 43eqtr4d 2501 . . . . . 6
4521, 44eqtr4d 2501 . . . . 5
4616, 45eqtr4d 2501 . . . 4
477, 46jaodan 785 . . 3
481, 47sylan2b 475 . 2
49483impa 1191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518  -ucneg 9829   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cexp 12166
This theorem is referenced by:  exprec  12207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator