MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgcd Unicode version

Theorem mulgcd 14184
Description: Distribute multiplication by a nonnegative integer over gcd. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulgcd

Proof of Theorem mulgcd
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . . 3
2 simp1 996 . . . . . . . . 9
32nnzd 10993 . . . . . . . 8
4 simp2 997 . . . . . . . 8
53, 4zmulcld 11000 . . . . . . 7
6 simp3 998 . . . . . . . 8
73, 6zmulcld 11000 . . . . . . 7
85, 7gcdcld 14156 . . . . . 6
92nnnn0d 10877 . . . . . . 7
10 gcdcl 14155 . . . . . . . 8
11103adant1 1014 . . . . . . 7
129, 11nn0mulcld 10882 . . . . . 6
138nn0cnd 10879 . . . . . . . 8
142nncnd 10577 . . . . . . . 8
152nnne0d 10605 . . . . . . . 8
1613, 14, 15divcan2d 10347 . . . . . . 7
17 gcddvds 14153 . . . . . . . . . . . . 13
185, 7, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
1918simpld 459 . . . . . . . . . . 11
2016, 19eqbrtrd 4472 . . . . . . . . . 10
21 dvdsmul1 14005 . . . . . . . . . . . . . 14
223, 4, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
23 dvdsmul1 14005 . . . . . . . . . . . . . 14
243, 6, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
25 dvdsgcd 14181 . . . . . . . . . . . . . 14
263, 5, 7, 25syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
2722, 24, 26mp2and 679 . . . . . . . . . . . 12
288nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . 13
29 dvdsval2 13989 . . . . . . . . . . . . 13
303, 15, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
3127, 30mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
32 dvdscmulr 14012 . . . . . . . . . . 11
3331, 4, 3, 15, 32syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10
3420, 33mpbid 210 . . . . . . . . 9
3518simprd 463 . . . . . . . . . . 11
3616, 35eqbrtrd 4472 . . . . . . . . . 10
37 dvdscmulr 14012 . . . . . . . . . . 11
3831, 6, 3, 15, 37syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10
3936, 38mpbid 210 . . . . . . . . 9
40 dvdsgcd 14181 . . . . . . . . . 10
4131, 4, 6, 40syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
4234, 39, 41mp2and 679 . . . . . . . 8
4311nn0zd 10992 . . . . . . . . 9
44 dvdscmul 14010 . . . . . . . . 9
4531, 43, 3, 44syl3anc 1228 . . . . . . . 8
4642, 45mpd 15 . . . . . . 7
4716, 46eqbrtrrd 4474 . . . . . 6
48 gcddvds 14153 . . . . . . . . . 10
49483adant1 1014 . . . . . . . . 9
5049simpld 459 . . . . . . . 8
51 dvdscmul 14010 . . . . . . . . 9
5243, 4, 3, 51syl3anc 1228 . . . . . . . 8
5350, 52mpd 15 . . . . . . 7
5449simprd 463 . . . . . . . 8
55 dvdscmul 14010 . . . . . . . . 9
5643, 6, 3, 55syl3anc 1228 . . . . . . . 8
5754, 56mpd 15 . . . . . . 7
5812nn0zd 10992 . . . . . . . 8
59 dvdsgcd 14181 . . . . . . . 8
6058, 5, 7, 59syl3anc 1228 . . . . . . 7
6153, 57, 60mp2and 679 . . . . . 6
62 dvdseq 14033 . . . . . 6
638, 12, 47, 61, 62syl22anc 1229 . . . . 5
64633expib 1199 . . . 4
65103adant1 1014 . . . . . . . . 9
6665nn0cnd 10879 . . . . . . . 8
6766mul02d 9799 . . . . . . 7
68 gcd0val 14147 . . . . . . 7
6967, 68syl6reqr 2517 . . . . . 6
70 simp1 996 . . . . . . . . 9
7170oveq1d 6311 . . . . . . . 8
72 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
73723ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9
7473mul02d 9799 . . . . . . . 8
7571, 74eqtrd 2498 . . . . . . 7
7670oveq1d 6311 . . . . . . . 8
77 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
78773ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9
7978mul02d 9799 . . . . . . . 8
8076, 79eqtrd 2498 . . . . . . 7
8175, 80oveq12d 6314 . . . . . 6
8270oveq1d 6311 . . . . . 6
8369, 81, 823eqtr4d 2508 . . . . 5
84833expib 1199 . . . 4
8564, 84jaoi 379 . . 3
861, 85sylbi 195 . 2
87863impib 1194 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   cmul 9518   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  absmulgcd  14185  mulgcdr  14186  mulgcddvds  14245  qredeu  14248  coprimeprodsq  14333  pythagtriplem4  14343  odadd2  16855  2sqlem8  23647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator