MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgcddvds Unicode version

Theorem mulgcddvds 14245
Description: One half of rpmulgcd2 14246, which does not need the coprimality assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
mulgcddvds

Proof of Theorem mulgcddvds
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . . . . 7
2 simp2 997 . . . . . . . 8
3 simp3 998 . . . . . . . 8
42, 3zmulcld 11000 . . . . . . 7
51, 4gcdcld 14156 . . . . . 6
65nn0zd 10992 . . . . 5
7 dvds0 13999 . . . . 5
86, 7syl 16 . . . 4
98adantr 465 . . 3
10 oveq2 6304 . . . 4
111, 2gcdcld 14156 . . . . . 6
1211nn0cnd 10879 . . . . 5
1312mul01d 9800 . . . 4
1410, 13sylan9eqr 2520 . . 3
159, 14breqtrrd 4478 . 2
166adantr 465 . . . . 5
1716zcnd 10995 . . . 4
181, 3gcdcld 14156 . . . . . . 7
1918nn0zd 10992 . . . . . 6
2019adantr 465 . . . . 5
2120zcnd 10995 . . . 4
22 simpr 461 . . . 4
2317, 21, 22divcan1d 10346 . . 3
24 gcddvds 14153 . . . . . . . . . . 11
251, 4, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
2625simpld 459 . . . . . . . . 9
27 dvdsmultr1 14019 . . . . . . . . . 10
286, 1, 19, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
2926, 28mpd 15 . . . . . . . 8
3029adantr 465 . . . . . . 7
3123, 30eqbrtrd 4472 . . . . . 6
32 gcddvds 14153 . . . . . . . . . . . 12
331, 3, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
3433simpld 459 . . . . . . . . . 10
3533simprd 463 . . . . . . . . . . 11
36 dvdsmultr2 14021 . . . . . . . . . . . 12
3719, 2, 3, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
3835, 37mpd 15 . . . . . . . . . 10
39 dvdsgcd 14181 . . . . . . . . . . 11
4019, 1, 4, 39syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
4134, 38, 40mp2and 679 . . . . . . . . 9
4241adantr 465 . . . . . . . 8
43 dvdsval2 13989 . . . . . . . . 9
4420, 22, 16, 43syl3anc 1228 . . . . . . . 8
4542, 44mpbid 210 . . . . . . 7
461adantr 465 . . . . . . 7
47 dvdsmulcr 14013 . . . . . . 7
4845, 46, 20, 22, 47syl112anc 1232 . . . . . 6
4931, 48mpbid 210 . . . . 5
50 nn0abscl 13145 . . . . . . . . . . . . . . 15
512, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
5251nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . 13
53 dvdsmultr2 14021 . . . . . . . . . . . . 13
546, 52, 1, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
5526, 54mpd 15 . . . . . . . . . . 11
5625simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
57 iddvds 13997 . . . . . . . . . . . . . . 15
582, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
59 dvdsabsb 14003 . . . . . . . . . . . . . . 15
602, 2, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
6158, 60mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
62 dvdsmulc 14011 . . . . . . . . . . . . . 14
632, 52, 3, 62syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
6461, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
6552, 3zmulcld 11000 . . . . . . . . . . . . 13
66 dvdstr 14018 . . . . . . . . . . . . 13
676, 4, 65, 66syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
6856, 64, 67mp2and 679 . . . . . . . . . . 11
6952, 1zmulcld 11000 . . . . . . . . . . . 12
70 dvdsgcd 14181 . . . . . . . . . . . 12
716, 69, 65, 70syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
7255, 68, 71mp2and 679 . . . . . . . . . 10
7318nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . 13
7418nn0ge0d 10880 . . . . . . . . . . . . 13
7573, 74absidd 13254 . . . . . . . . . . . 12
7675oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
772zcnd 10995 . . . . . . . . . . . 12
7818nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . . 12
7977, 78absmuld 13285 . . . . . . . . . . 11
80 mulgcd 14184 . . . . . . . . . . . 12
8151, 1, 3, 80syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
8276, 79, 813eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10
8372, 82breqtrrd 4478 . . . . . . . . 9
842, 19zmulcld 11000 . . . . . . . . . 10
85 dvdsabsb 14003 . . . . . . . . . 10
866, 84, 85syl2anc 661 . . . . . . . . 9
8783, 86mpbird 232 . . . . . . . 8
8887adantr 465 . . . . . . 7
8923, 88eqbrtrd 4472 . . . . . 6
902adantr 465 . . . . . . 7
91 dvdsmulcr 14013 . . . . . . 7
9245, 90, 20, 22, 91syl112anc 1232 . . . . . 6
9389, 92mpbid 210 . . . . 5
94 dvdsgcd 14181 . . . . . 6
9545, 46, 90, 94syl3anc 1228 . . . . 5
9649, 93, 95mp2and 679 . . . 4
9711nn0zd 10992 . . . . . 6
9897adantr 465 . . . . 5
99 dvdsmulc 14011 . . . . 5
10045, 98, 20, 99syl3anc 1228 . . . 4
10196, 100mpd 15 . . 3
10223, 101eqbrtrrd 4474 . 2
10315, 102pm2.61dane 2775 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513   cmul 9518   cdiv 10231   cn0 10820   cz 10889   cabs 13067   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  rpmulgcd2  14246  rpmul  14264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator