Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0 Unicode version

Theorem mulge0 10095
 Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulge0

Proof of Theorem mulge0
StepHypRef Expression
1 0red 9618 . . . . . 6
2 simpl 457 . . . . . 6
31, 2leloed 9749 . . . . 5
4 simpr 461 . . . . . 6
51, 4leloed 9749 . . . . 5
63, 5anbi12d 710 . . . 4
7 0red 9618 . . . . . . 7
8 simpll 753 . . . . . . . 8
9 simplr 755 . . . . . . . 8
108, 9remulcld 9645 . . . . . . 7
11 mulgt0 9683 . . . . . . . 8
1211an4s 826 . . . . . . 7
137, 10, 12ltled 9754 . . . . . 6
1413ex 434 . . . . 5
15 0re 9617 . . . . . . . . 9
16 leid 9701 . . . . . . . . 9
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8
184recnd 9643 . . . . . . . . 9
1918mul02d 9799 . . . . . . . 8
2017, 19syl5breqr 4488 . . . . . . 7
21 oveq1 6303 . . . . . . . 8
2221breq2d 4464 . . . . . . 7
2320, 22syl5ibcom 220 . . . . . 6
2423adantrd 468 . . . . 5
252recnd 9643 . . . . . . . . 9
2625mul01d 9800 . . . . . . . 8
2717, 26syl5breqr 4488 . . . . . . 7
28 oveq2 6304 . . . . . . . 8
2928breq2d 4464 . . . . . . 7
3027, 29syl5ibcom 220 . . . . . 6
3130adantld 467 . . . . 5
3230adantld 467 . . . . 5
3314, 24, 31, 32ccased 947 . . . 4
346, 33sylbid 215 . . 3
3534imp 429 . 2
3635an4s 826 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   cmul 9518   clt 9649   cle 9650 This theorem is referenced by:  mulge0OLD  10096  mulge0i  10125  mulge0d  10154  mulge0b  10437  ge0mulcl  11662  expge0  12202  bernneq  12292  sqrtmul  13093  sqreulem  13192  amgm2  13202  efcllem  13813  nmoco  21244  iihalf1  21431  iimulcl  21437  mbfi1fseqlem1  22122  mbfi1fseqlem3  22124  mbfi1fseqlem5  22126  dchrisumlem3  23676  dchrvmasumlem2  23683  chpdifbndlem2  23739  cnlnadjlem7  26992  leopmuli  27052  reofld  27830  stoweidlem24  31806 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655
 Copyright terms: Public domain W3C validator