MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0b Unicode version

Theorem mulge0b 10437
Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulge0b

Proof of Theorem mulge0b
StepHypRef Expression
1 ianor 488 . . . . 5
2 0re 9617 . . . . . . . . . 10
3 ltnle 9685 . . . . . . . . . 10
42, 3mpan 670 . . . . . . . . 9
54adantr 465 . . . . . . . 8
6 ltnle 9685 . . . . . . . . . 10
72, 6mpan 670 . . . . . . . . 9
87adantl 466 . . . . . . . 8
95, 8orbi12d 709 . . . . . . 7
109adantr 465 . . . . . 6
11 ltle 9694 . . . . . . . . . . . 12
122, 11mpan 670 . . . . . . . . . . 11
1312imp 429 . . . . . . . . . 10
1413ad2ant2rl 748 . . . . . . . . 9
15 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . 12
1615adantr 465 . . . . . . . . . . 11
17 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
18 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
19 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
20 divge0 10436 . . . . . . . . . . 11
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10
22 recn 9603 . . . . . . . . . . . 12
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
24 recn 9603 . . . . . . . . . . . 12
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
26 gt0ne0 10042 . . . . . . . . . . . 12
2726ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11
2823, 25, 27divcan3d 10350 . . . . . . . . . 10
2921, 28breqtrd 4476 . . . . . . . . 9
3014, 29jca 532 . . . . . . . 8
3130expr 615 . . . . . . 7
3215adantr 465 . . . . . . . . . . 11
33 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
34 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
35 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
36 divge0 10436 . . . . . . . . . . 11
3732, 33, 34, 35, 36syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10
3824ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
3922ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
40 gt0ne0 10042 . . . . . . . . . . . 12
4140ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . 11
4238, 39, 41divcan4d 10351 . . . . . . . . . 10
4337, 42breqtrd 4476 . . . . . . . . 9
44 ltle 9694 . . . . . . . . . . . 12
452, 44mpan 670 . . . . . . . . . . 11
4645imp 429 . . . . . . . . . 10
4746ad2ant2l 745 . . . . . . . . 9
4843, 47jca 532 . . . . . . . 8
4948expr 615 . . . . . . 7
5031, 49jaod 380 . . . . . 6
5110, 50sylbird 235 . . . . 5
521, 51syl5bi 217 . . . 4
5352orrd 378 . . 3
5453ex 434 . 2
55 le0neg1 10085 . . . . 5
56 le0neg1 10085 . . . . 5
5755, 56bi2anan9 873 . . . 4
58 renegcl 9905 . . . . . 6
59 renegcl 9905 . . . . . 6
60 mulge0 10095 . . . . . . . 8
6160an4s 826 . . . . . . 7
6261ex 434 . . . . . 6
6358, 59, 62syl2an 477 . . . . 5
64 mul2neg 10021 . . . . . . 7
6524, 22, 64syl2an 477 . . . . . 6
6665breq2d 4464 . . . . 5
6763, 66sylibd 214 . . . 4
6857, 67sylbid 215 . . 3
69 mulge0 10095 . . . . 5
7069an4s 826 . . . 4
7170ex 434 . . 3
7268, 71jaod 380 . 2
7354, 72impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   cmul 9518   clt 9649   cle 9650  -ucneg 9829   cdiv 10231
This theorem is referenced by:  mulle0b  10438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
  Copyright terms: Public domain W3C validator