Theorem mulge0b 10437

Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0b

Proof of Theorem mulge0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 488	. . . . 5
2		0re 9617	. . . . . . . . . 10
3		ltnle 9685	. . . . . . . . . 10
4	2, 3	mpan 670	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 465	. . . . . . . 8
6		ltnle 9685	. . . . . . . . . 10
7	2, 6	mpan 670	. . . . . . . . 9
8	7	adantl 466	. . . . . . . 8
9	5, 8	orbi12d 709	. . . . . . 7
10	9	adantr 465	. . . . . 6
11		ltle 9694	. . . . . . . . . . . 12
12	2, 11	mpan 670	. . . . . . . . . . 11
13	12	imp 429	. . . . . . . . . 10
14	13	ad2ant2rl 748	. . . . . . . . 9
15		remulcl 9598	. . . . . . . . . . . 12
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
17		simprl 756	. . . . . . . . . . 11
18		simpll 753	. . . . . . . . . . 11
19		simprr 757	. . . . . . . . . . 11
20		divge0 10436	. . . . . . . . . . 11
21	16, 17, 18, 19, 20	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10
22		recn 9603	. . . . . . . . . . . 12
23	22	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11
24		recn 9603	. . . . . . . . . . . 12
25	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
26		gt0ne0 10042	. . . . . . . . . . . 12
27	26	ad2ant2rl 748	. . . . . . . . . . 11
28	23, 25, 27	divcan3d 10350	. . . . . . . . . 10
29	21, 28	breqtrd 4476	. . . . . . . . 9
30	14, 29	jca 532	. . . . . . . 8
31	30	expr 615	. . . . . . 7
32	15	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
33		simprl 756	. . . . . . . . . . 11
34		simplr 755	. . . . . . . . . . 11
35		simprr 757	. . . . . . . . . . 11
36		divge0 10436	. . . . . . . . . . 11
37	32, 33, 34, 35, 36	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10
38	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
39	22	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11
40		gt0ne0 10042	. . . . . . . . . . . 12
41	40	ad2ant2l 745	. . . . . . . . . . 11
42	38, 39, 41	divcan4d 10351	. . . . . . . . . 10
43	37, 42	breqtrd 4476	. . . . . . . . 9
44		ltle 9694	. . . . . . . . . . . 12
45	2, 44	mpan 670	. . . . . . . . . . 11
46	45	imp 429	. . . . . . . . . 10
47	46	ad2ant2l 745	. . . . . . . . 9
48	43, 47	jca 532	. . . . . . . 8
49	48	expr 615	. . . . . . 7
50	31, 49	jaod 380	. . . . . 6
51	10, 50	sylbird 235	. . . . 5
52	1, 51	syl5bi 217	. . . 4
53	52	orrd 378	. . 3
54	53	ex 434	. 2
55		le0neg1 10085	. . . . 5
56		le0neg1 10085	. . . . 5
57	55, 56	bi2anan9 873	. . . 4
58		renegcl 9905	. . . . . 6
59		renegcl 9905	. . . . . 6
60		mulge0 10095	. . . . . . . 8
61	60	an4s 826	. . . . . . 7
62	61	ex 434	. . . . . 6
63	58, 59, 62	syl2an 477	. . . . 5
64		mul2neg 10021	. . . . . . 7
65	24, 22, 64	syl2an 477	. . . . . 6
66	65	breq2d 4464	. . . . 5
67	63, 66	sylibd 214	. . . 4
68	57, 67	sylbid 215	. . 3
69		mulge0 10095	. . . . 5
70	69	an4s 826	. . . 4
71	70	ex 434	. . 3
72	68, 71	jaod 380	. 2
73	54, 72	impbid 191	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  -ucneg 9829  cdiv 10231

This theorem is referenced by:  mulle0b  10438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232