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Theorem mulgt0sr 9503
Description: The product of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulgt0sr

Proof of Theorem mulgt0sr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 9466 . . . . 5
21brel 5053 . . . 4
32simprd 463 . . 3
41brel 5053 . . . 4
54simprd 463 . . 3
63, 5anim12i 566 . 2
7 df-nr 9455 . . 3
8 breq2 4456 . . . . 5
98anbi1d 704 . . . 4
10 oveq1 6303 . . . . 5
1110breq2d 4464 . . . 4
129, 11imbi12d 320 . . 3
13 breq2 4456 . . . . 5
1413anbi2d 703 . . . 4
15 oveq2 6304 . . . . 5
1615breq2d 4464 . . . 4
1714, 16imbi12d 320 . . 3
18 gt0srpr 9476 . . . . 5
19 gt0srpr 9476 . . . . 5
2018, 19anbi12i 697 . . . 4
21 simprr 757 . . . . . 6
22 mulclpr 9419 . . . . . . . 8
23 mulclpr 9419 . . . . . . . 8
24 addclpr 9417 . . . . . . . 8
2522, 23, 24syl2an 477 . . . . . . 7
2625an4s 826 . . . . . 6
27 ltexpri 9442 . . . . . . . . 9
28 ltexpri 9442 . . . . . . . . 9
29 mulclpr 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
30 oveq12 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3130oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32 distrpr 9427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
33 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3432, 33syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3534oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
36 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
37 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
38 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
39 mulcompr 9422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
40 distrpr 9427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4136, 37, 38, 39, 40caovdir 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
42 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4336, 37, 42, 39, 40caovdir 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4441, 43oveq12i 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
45 distrpr 9427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
46 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
47 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
48 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
49 addcompr 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
50 addasspr 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
51 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5246, 47, 48, 49, 50, 51caov4 6506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5344, 45, 523eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
54 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5548, 54, 51, 49, 50caov12 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5635, 53, 553eqtr4g 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
57 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5841, 57syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5956, 58oveqan12rd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6031, 59eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61 addasspr 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62 addcompr 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6361, 62eqtr3i 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
64 addasspr 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
65 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
66 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6748, 65, 66, 49, 50caov32 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68 addasspr 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6968oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7064, 67, 693eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7160, 63, 703eqtr3g 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72 addcanpr 9445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7371, 72syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75 ltaddpr2 9434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7674, 75syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7873, 77syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7929, 78sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180exp4a 606 . . . . . . . . . . . . . 14
8281com34 83 . . . . . . . . . . . . 13
8382rexlimdv 2947 . . . . . . . . . . . 12
8483expl 618 . . . . . . . . . . 11
8584com24 87 . . . . . . . . . 10
8685rexlimiv 2943 . . . . . . . . 9
8727, 28, 86syl2im 38 . . . . . . . 8
8887imp 429 . . . . . . 7
8988com12 31 . . . . . 6
9021, 26, 89syl2anc 661 . . . . 5
91 mulsrpr 9474 . . . . . . 7
9291breq2d 4464 . . . . . 6
93 gt0srpr 9476 . . . . . 6
9492, 93syl6bb 261 . . . . 5
9590, 94sylibrd 234 . . . 4
9620, 95syl5bi 217 . . 3
977, 12, 17, 962ecoptocl 7421 . 2
986, 97mpcom 36 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  <.cop 4035   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  [cec 7328   cnp 9258   cpp 9260   cmp 9261   cltp 9262   cer 9263   cnr 9264   c0r 9265   cmr 9269   cltr 9270
This theorem is referenced by:  sqgt0sr  9504  axpre-mulgt0  9566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-1p 9381  df-plp 9382  df-mp 9383  df-ltp 9384  df-enr 9454  df-nr 9455  df-mr 9457  df-ltr 9458  df-0r 9459
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