Theorem mulneg1 10018

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1

Proof of Theorem mulneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 9609	. . . 4
2		subdir 10016	. . . 4
3	1, 2	mp3an1 1311	. . 3
4		simpr 461	. . . . 5
5	4	mul02d 9799	. . . 4
6	5	oveq1d 6311	. . 3
7	3, 6	eqtrd 2498	. 2
8		df-neg 9831	. . 3
9	8	oveq1i 6306	. 2
10		df-neg 9831	. 2
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2523	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  cmul 9518  cmin 9828  -ucneg 9829

This theorem is referenced by:  mulneg2  10019  mulneg12  10020  mulm1  10023  mulneg1i  10027  mulneg1d  10034  divneg  10264  zmulcl  10937  modcyc2  12032  cjreim  12993  tanval3  13869  dvdsnegb  14001  odd2np1  14046  modgcd  14174  pcexp  14383  cnfldmulg  18450  sinperlem  22873  sineq0  22914  efeq1  22916  asinlem3a  23201  atancj  23241  atantayl  23268  atantayl2  23269  basellem3  23356  basellem9  23362  ipval2  25617  ipasslem2  25747  zetacvg  28557  itg2addnclem3  30068  ftc1anclem6  30095  stoweidlem10  31792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831