MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulnzcnopr Unicode version

Theorem mulnzcnopr 10220
Description: Multiplication maps nonzero complex numbers to nonzero complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
mulnzcnopr

Proof of Theorem mulnzcnopr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-mulf 9593 . . . . 5
2 ffnov 6406 . . . . 5
31, 2mpbi 208 . . . 4
43simpli 458 . . 3
5 difss 3630 . . . 4
6 xpss12 5113 . . . 4
75, 5, 6mp2an 672 . . 3
8 fnssres 5699 . . 3
94, 7, 8mp2an 672 . 2
10 ovres 6442 . . . 4
11 eldifsn 4155 . . . . . 6
12 eldifsn 4155 . . . . . 6
13 mulcl 9597 . . . . . . . 8
1413ad2ant2r 746 . . . . . . 7
15 mulne0 10216 . . . . . . 7
1614, 15jca 532 . . . . . 6
1711, 12, 16syl2anb 479 . . . . 5
18 eldifsn 4155 . . . . 5
1917, 18sylibr 212 . . . 4
2010, 19eqeltrd 2545 . . 3
2120rgen2a 2884 . 2
22 ffnov 6406 . 2
239, 21, 22mpbir2an 920 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  \cdif 3472  C_wss 3475  {csn 4029  X.cxp 5002  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   cmul 9518
This theorem is referenced by:  ablomul  25357  mulid  25358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831
  Copyright terms: Public domain W3C validator