MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsrmo Unicode version

Theorem mulsrmo 9472
Description: There is at most one result from multiplying signed reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulsrmo
Distinct variable groups:   , , , , ,   , , , , ,

Proof of Theorem mulsrmo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enrer 9463 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
3 prsrlem1 9470 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 mulcmpblnr 9469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
72, 6erthi 7377 . . . . . . . . . . . . . 14
87adantrlr 722 . . . . . . . . . . . . 13
98adantrrr 724 . . . . . . . . . . . 12
10 simprlr 764 . . . . . . . . . . . 12
11 simprrr 766 . . . . . . . . . . . 12
129, 10, 113eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11
1312expr 615 . . . . . . . . . 10
1413exlimdvv 1725 . . . . . . . . 9
1514exlimdvv 1725 . . . . . . . 8
1615ex 434 . . . . . . 7
1716exlimdvv 1725 . . . . . 6
1817exlimdvv 1725 . . . . 5
1918impd 431 . . . 4
2019alrimivv 1720 . . 3
21 opeq12 4219 . . . . . . . . . . 11
2221eceq1d 7367 . . . . . . . . . 10
2322eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
2423anbi1d 704 . . . . . . . 8
25 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
2625oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
2827oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
2926, 28oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
3025oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
3127oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
3329, 32opeq12d 4225 . . . . . . . . . 10
3433eceq1d 7367 . . . . . . . . 9
3534eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
3624, 35anbi12d 710 . . . . . . 7
37 opeq12 4219 . . . . . . . . . . 11
3837eceq1d 7367 . . . . . . . . . 10
3938eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
4039anbi2d 703 . . . . . . . 8
41 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
4241oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
43 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
4443oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
4542, 44oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
4643oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
4741oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
4846, 47oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
4945, 48opeq12d 4225 . . . . . . . . . 10
5049eceq1d 7367 . . . . . . . . 9
5150eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
5240, 51anbi12d 710 . . . . . . 7
5336, 52cbvex4v 2034 . . . . . 6
5453anbi2i 694 . . . . 5
5554imbi1i 325 . . . 4
56552albii 1641 . . 3
5720, 56sylibr 212 . 2
58 eqeq1 2461 . . . . 5
5958anbi2d 703 . . . 4
60594exbidv 1718 . . 3
6160mo4 2337 . 2
6257, 61sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E*wmo 2283  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  (class class class)co 6296  Erwer 7327  [cec 7328  /.cqs 7329   cnp 9258   cpp 9260   cmp 9261   cer 9263
This theorem is referenced by:  mulsrpr  9474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-plp 9382  df-mp 9383  df-ltp 9384  df-enr 9454
  Copyright terms: Public domain W3C validator