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Theorem nbgraf1olem5 21491
Description: Lemma 5 for nbgraf1o 21493. The mapping of neighbors to edge indices is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgraf1o.n
nbgraf1o.i
nbgraf1o.f
Assertion
Ref Expression
nbgraf1olem5
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   ,I,   ,N
Allowed substitution hints:   ( , )   N( )

Proof of Theorem nbgraf1olem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgraf1o.n . . . 4
2 nbgraf1o.i . . . 4
3 nbgraf1o.f . . . 4
41, 2, 3nbgraf1olem2 21488 . . 3
5 ffn 5642 . . 3
64, 5syl 16 . 2
71, 2, 3nbgraf1olem3 21489 . . . . . . . . . . 11
873expa 1154 . . . . . . . . . 10
98eqeq2d 2458 . . . . . . . . 9
10 usgraf1o 21418 . . . . . . . . . . . . . 14
1110adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
1211adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
13 nbgraeledg 21478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14 prcom 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1514eleq1i 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1613, 15syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1716biimpcd 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1817a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918, 1eleq2s 2539 . . . . . . . . . . . . . 14
2019com13 77 . . . . . . . . . . . . 13
2120imp31 423 . . . . . . . . . . . 12
22 f1ocnvdm 6070 . . . . . . . . . . . 12
2312, 21, 22syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11
24 prid1g 3942 . . . . . . . . . . . . . 14
2524adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
2625adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
271eleq2i 2511 . . . . . . . . . . . . . 14
28 nbgracnvfv 21486 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28sylan2b 463 . . . . . . . . . . . . 13
3029adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12
3126, 30eleqtrrd 2524 . . . . . . . . . . 11
3223, 31jca 520 . . . . . . . . . 10
33 eleq1 2507 . . . . . . . . . . 11
34 fveq2 5779 . . . . . . . . . . . 12
3534eleq2d 2514 . . . . . . . . . . 11
3633, 35anbi12d 693 . . . . . . . . . 10
3732, 36syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9
389, 37sylbid 208 . . . . . . . 8
3938rexlimdva 2841 . . . . . . 7
40 simpl 445 . . . . . . . . . . 11
4140adantr 453 . . . . . . . . . 10
42 simpl 445 . . . . . . . . . . 11
4342adantl 454 . . . . . . . . . 10
44 simprr 735 . . . . . . . . . 10
45 usgraedg4 21442 . . . . . . . . . 10
4641, 43, 44, 45syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
47 usgrafun 21414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48 fvelrn 5918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4948ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5047, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5150adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5251com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453impcom 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5756eqcoms 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5814, 57syl5eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5958eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15
6155, 60mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14
6213ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . 14
6361, 62mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13
6463, 27sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12
65 f1ocnvfv1 6066 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6611, 42, 65syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
68 fveq2 5779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968eqcoms 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . 14
7267, 71mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13
73 eqcom 2449 . . . . . . . . . . . . . 14
74 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15
767eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15
7774, 75, 64, 76syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14
7873, 77syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . 13
7972, 78mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12
8064, 79jca 520 . . . . . . . . . . 11
8180ex 425 . . . . . . . . . 10
8281reximdv2 2826 . . . . . . . . 9
8346, 82mpd 15 . . . . . . . 8
8483ex 425 . . . . . . 7
8539, 84impbid 185 . . . . . 6
8685abbidv 2561 . . . . 5
87 eleq1 2507 . . . . . . 7
88 fveq2 5779 . . . . . . . 8
8988eleq2d 2514 . . . . . . 7
9087, 89anbi12d 693 . . . . . 6
9190cbvabv 2566 . . . . 5
9286, 91syl6eq 2495 . . . 4
93 df-rab 2725 . . . 4
9492, 93syl6eqr 2497 . . 3
953rnmpt 5163 . . 3
9694, 95, 23eqtr4g 2504 . 2
971, 2, 3nbgraf1olem4 21490 . . . . . . . 8
98973expa 1154 . . . . . . 7
9998adantr 453 . . . . . 6
100 simplll 736 . . . . . . 7
101 simpllr 737 . . . . . . 7
102 simpr 449 . . . . . . 7
1031, 2, 3nbgraf1olem4 21490 . . . . . . 7
104100, 101, 102, 103syl3anc 1185 . . . . . 6
10599, 104eqeq12d 2461 . . . . 5
106 usgraf1 21419 . . . . . . 7
107106ad3antrrr 712 . . . . . 6
1081eleq2i 2511 . . . . . . . . . 10
109 nbgraeledg 21478 . . . . . . . . . . . 12
110 prcom 3914 . . . . . . . . . . . . 13
111110eleq1i 2510 . . . . . . . . . . . 12
112109, 111syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11
113112biimpd 200 . . . . . . . . . 10
114108, 113syl5bi 210 . . . . . . . . 9
115114adantr 453 . . . . . . . 8
116115imp 420 . . . . . . 7
117116adantr 453 . . . . . 6
1181eleq2i 2511 . . . . . . . . . 10
119 nbgraeledg 21478 . . . . . . . . . . . 12
120 prcom 3914 . . . . . . . . . . . . 13
121120eleq1i 2510 . . . . . . . . . . . 12
122119, 121syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11
123122biimpd 200 . . . . . . . . . 10
124118, 123syl5bi 210 . . . . . . . . 9
125124adantr 453 . . . . . . . 8
126125adantr 453 . . . . . . 7
127126imp 420 . . . . . 6
128 f1ocnvfvrneq 6071 . . . . . . 7
129 vex 2972 . . . . . . . 8
130 vex 2972 . . . . . . . 8
131129, 130preqr2 4005 . . . . . . 7
132128, 131syl6 32 . . . . . 6
133107, 117, 127, 132syl12anc 1183 . . . . 5
134105, 133sylbid 208 . . . 4
135134ralrimiva 2800 . . 3
136135ralrimiva 2800 . 2
137 dff1o6 6065 . 2
1386, 96, 136, 137syl3anbrc 1139 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728  {cab 2433  A.wral 2716  E.wrex 2717  {crab 2720  {cpr 3846  <.cop 3848   class class class wbr 4247  e.cmpt 4305  `'ccnv 4922  domcdm 4923  rancrn 4924  Funwfun 5499  Fnwfn 5500  -->wf 5501  -1-1->wf1 5502  -1-1-onto->wf1o 5504  `cfv 5505  (class class class)co 6133  iota_crio 6596   cusg 21401   cnbgra 21466
This theorem is referenced by:  nbgraf1o0  21492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1955  ax-ext 2428  ax-rep 4358  ax-sep 4368  ax-nul 4376  ax-pow 4420  ax-pr 4446  ax-un 4746  ax-cnex 9101  ax-resscn 9102  ax-1cn 9103  ax-icn 9104  ax-addcl 9105  ax-addrcl 9106  ax-mulcl 9107  ax-mulrcl 9108  ax-mulcom 9109  ax-addass 9110  ax-mulass 9111  ax-distr 9112  ax-i2m1 9113  ax-1ne0 9114  ax-1rid 9115  ax-rnegex 9116  ax-rrecex 9117  ax-cnre 9118  ax-pre-lttri 9119  ax-pre-lttrn 9120  ax-pre-ltadd 9121  ax-pre-mulgt0 9122
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2296  df-mo 2297  df-clab 2434  df-cleq 2440  df-clel 2443  df-nfc 2572  df-ne 2612  df-nel 2613  df-ral 2721  df-rex 2722  df-reu 2723  df-rmo 2724  df-rab 2725  df-v 2971  df-sbc 3175  df-csb 3275  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3621  df-if 3770  df-pw 3832  df-sn 3851  df-pr 3852  df-tp 3853  df-op 3854  df-uni 4048  df-int 4084  df-iun 4128  df-br 4248  df-opab 4306  df-mpt 4307  df-tr 4341  df-eprel 4539  df-id 4543  df-po 4548  df-so 4549  df-fr 4586  df-we 4588  df-ord 4629  df-on 4630  df-lim 4631  df-suc 4632  df-om 4891  df-xp 4929  df-rel 4930  df-cnv 4931  df-co 4932  df-dm 4933  df-rn 4934  df-res 4935  df-ima 4936  df-iota 5468  df-fun 5507  df-fn 5508  df-f 5509  df-f1 5510  df-fo 5511  df-f1o 5512  df-fv 5513  df-ov 6136  df-oprab 6137  df-mpt2 6138  df-1st 6403  df-2nd 6404  df-riota 6603  df-recs 6686  df-rdg 6721  df-1o 6777  df-2o 6778  df-oadd 6781  df-er 6958  df-en 7163  df-dom 7164  df-sdom 7165  df-fin 7166  df-card 7881  df-cda 8103  df-pnf 9177  df-mnf 9178  df-xr 9179  df-ltxr 9180  df-le 9181  df-sub 9348  df-neg 9349  df-nn 10056  df-2 10113  df-n0 10277  df-z 10338  df-uz 10544  df-fz 11099  df-hash 11674  df-usgra 21403  df-nbgra 21469
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