MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negiso Unicode version

Theorem negiso 10544
Description: Negation is an order anti-isomorphism of the real numbers, which is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negiso.1
Assertion
Ref Expression
negiso

Proof of Theorem negiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negiso.1 . . . . . 6
2 simpr 461 . . . . . . 7
32renegcld 10011 . . . . . 6
4 simpr 461 . . . . . . 7
54renegcld 10011 . . . . . 6
6 recn 9603 . . . . . . . 8
7 recn 9603 . . . . . . . 8
8 negcon2 9895 . . . . . . . 8
96, 7, 8syl2an 477 . . . . . . 7
109adantl 466 . . . . . 6
111, 3, 5, 10f1ocnv2d 6526 . . . . 5
1211trud 1404 . . . 4
1312simpli 458 . . 3
14 ltneg 10077 . . . . . 6
15 negex 9841 . . . . . . 7
16 negex 9841 . . . . . . 7
1715, 16brcnv 5190 . . . . . 6
1814, 17syl6bbr 263 . . . . 5
19 negeq 9835 . . . . . . 7
2019, 1, 15fvmpt 5956 . . . . . 6
21 negeq 9835 . . . . . . 7
2221, 1, 16fvmpt 5956 . . . . . 6
2320, 22breqan12d 4467 . . . . 5
2418, 23bitr4d 256 . . . 4
2524rgen2a 2884 . . 3
26 df-isom 5602 . . 3
2713, 25, 26mpbir2an 920 . 2
28 negeq 9835 . . . 4
2928cbvmptv 4543 . . 3
3012simpri 462 . . 3
3129, 30, 13eqtr4i 2496 . 2
3227, 31pm3.2i 455 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395   wtru 1396  e.wcel 1818  A.wral 2807   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594   cc 9511   cr 9512   clt 9649  -ucneg 9829
This theorem is referenced by:  infmsup  10546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831
  Copyright terms: Public domain W3C validator