MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negnegd Unicode version

Theorem negnegd 9945
Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1
Assertion
Ref Expression
negnegd

Proof of Theorem negnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2
2 negneg 9892 . 2
31, 2syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818   cc 9511  -ucneg 9829
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  10078  ltnegcon2  10079  lenegcon1  10081  lenegcon2  10082  infm3lem  10526  infmsup  10546  infmrcl  10547  zeo  10973  zindd  10990  negn0  11197  supminf  11198  zsupss  11200  max0sub  11424  xnegneg  11442  ceilid  11978  expneg  12174  expaddzlem  12209  expaddz  12210  cjcj  12973  cnpart  13073  sincossq  13911  bitsf1  14096  pcid  14396  4sqlem10  14465  mulgnegnn  16152  mulgsubcl  16156  mulgneg  16160  mulgz  16163  mulgass  16172  ghmmulg  16279  cyggeninv  16886  tgpmulg  20592  xrhmeo  21446  cphsqrtcl3  21634  iblneg  22209  itgneg  22210  ditgswap  22263  lhop2  22416  vieta1lem2  22707  ptolemy  22889  tanabsge  22899  tanord  22925  tanregt0  22926  lognegb  22974  logtayl  23041  logtayl2  23043  cxpmul2z  23072  isosctrlem2  23153  dcubic  23177  dquart  23184  atans2  23262  amgmlem  23319  basellem5  23358  basellem9  23362  lgsdir2lem4  23601  dchrisum0flblem1  23693  ostth3  23823  gxnn0neg  25265  ipasslem3  25748  lgamucov  28580  risefallfac  29146  ftc1anclem6  30095  rexzrexnn0  30737  acongsym  30914  acongneg2  30915  acongtr  30916  binomcxplemnotnn0  31261  znnn0nn  31489  itgsin0pilem1  31748  itgsinexplem1  31752  itgsincmulx  31773  stoweidlem13  31795  fourierdlem39  31928  fourierdlem43  31932  fourierdlem44  31933  etransclem46  32063  sigariz  32080  sigaradd  32083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831
  Copyright terms: Public domain W3C validator