Theorem negsub 9890

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negsub

Proof of Theorem negsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 9831	. . . 4
2	1	oveq2i 6307	. . 3
3	2	a1i 11	. 2
4		0cn 9609	. . 3
5		addsubass 9853	. . 3
6	4, 5	mp3an2 1312	. 2
7		simpl 457	. . . 4
8	7	addid1d 9801	. . 3
9	8	oveq1d 6311	. 2
10	3, 6, 9	3eqtr2d 2504	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  caddc 9516  cmin 9828  -ucneg 9829

This theorem is referenced by:  negdi2  9900  negsubdi2  9901  resubcli  9904  resubcl  9906  negsubi  9920  negsubd  9960  submul2  10022  mulsub  10024  divsubdir  10265  elz2  10906  zsubcl  10931  qsubcl  11230  rexsub  11461  fzsubel  11748  ceim1l  11974  modcyc2  12032  expsub  12213  binom2sub  12285  seqshft  12918  resub  12960  imsub  12968  cjsub  12982  cjreim  12993  absdiflt  13150  absdifle  13151  abs2dif2  13166  subcn2  13417  efsub  13835  efi4p  13872  sinsub  13903  cossub  13904  demoivreALT  13936  dvdssub  14026  modgcd  14174  gzsubcl  14458  psgnunilem2  16520  cnfldsub  18446  itg1sub  22116  plyremlem  22700  sineq0  22914  logneg2  23000  ang180lem2  23142  asinsin  23223  atanneg  23238  atancj  23241  atanlogadd  23245  atanlogsublem  23246  atanlogsub  23247  2efiatan  23249  tanatan  23250  cosatan  23252  atans2  23262  dvatan  23266  wilthlem1  23342  wilthlem2  23343  basellem8  23361  lgsvalmod  23590  gxsuc  25274  gxadd  25277  gxsub  25278  vcsubdir  25449  cnnvm  25588  cncph  25734  hvsubdistr2  25967  lnfnsubi  26965  zetacvg  28557  subfacval2  28631  bpoly2  29819  bpoly3  29820  itg2addnclem3  30068  pellexlem6  30770  pell14qrdich  30805  rmxm1  30870  rmym1  30871  zlmodzxzequap  33100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831