Theorem negsubd 9960

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1
pncand.2

Assertion

Ref	Expression
negsubd

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2
2		pncand.2	. 2
3		negsub 9890	. 2
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  caddc 9516  cmin 9828  -ucneg 9829

This theorem is referenced by:  mulsub  10024  divsubdir  10265  divsubdiv  10285  ofnegsub  10559  icoshftf1o  11672  fzosubel  11875  modsub12d  12044  expaddzlem  12209  binom2sub  12285  discr  12303  cjreb  12956  recj  12957  remullem  12961  imcj  12965  sqreulem  13192  subcn2  13417  lo1sub  13453  iseraltlem2  13505  iseraltlem3  13506  fsumshftm  13596  fsumsub  13603  incexclem  13648  incexc  13649  efmival  13888  cosadd  13900  sinsub  13903  sincossq  13911  moddvds  13993  dvdsadd2b  14028  bitsres  14123  pythagtriplem4  14343  mulgdirlem  16166  mulgsubdir  16173  cnsubrg  18478  zringlpirlem3  18511  zlpirlem3  18516  pjthlem1  21852  mbfsub  22069  mbfmulc2  22070  itg2monolem1  22157  itgcnlem  22196  iblsub  22228  itgsub  22232  itgmulc2  22240  dvmptsub  22370  dvexp3  22379  dvsincos  22382  dvlipcn  22395  ftc2  22445  aaliou3lem6  22744  logdiv2  23002  tanarg  23004  advlogexp  23036  cxpsub  23063  abscxpbnd  23127  isosctrlem2  23153  angpieqvdlem  23159  quad2  23170  dcubic1lem  23174  dcubic2  23175  dcubic  23177  mcubic  23178  dquartlem2  23183  dquart  23184  quart1lem  23186  quartlem1  23188  quart  23192  asinlem2  23200  cosasin  23235  atanlogsublem  23246  atantan  23254  atantayl2  23269  ftalem5  23350  basellem9  23362  lgseisenlem1  23624  2sqlem4  23642  rpvmasum2  23697  log2sumbnd  23729  chpdifbndlem1  23738  pntpbnd1  23771  axsegconlem9  24228  axeuclidlem  24265  gxmodid  25281  smcnlem  25607  ipval2  25617  ipasslem2  25747  dipsubdir  25763  his2sub  26009  pjhthlem1  26309  bpoly3  29820  itg2gt0cn  30070  iblsubnc  30076  itgsubnc  30077  itgmulc2nc  30083  ftc1anclem8  30097  ftc2nc  30099  areacirclem1  30107  mzpsubmpt  30675  pellexlem6  30770  pell1234qrreccl  30790  pellfund14  30834  rmxyneg  30856  rmxm1  30870  rmym1  30871  congsub  30908  jm2.19lem1  30931  jm2.19lem4  30934  jm2.19  30935  jm2.26lem3  30943  sub2times  31455  fzisoeu  31500  sublimc  31658  reclimc  31659  dvmptdiv  31714  itgsincmulx  31773  itgsbtaddcnst  31781  stoweidlem10  31792  stoweidlem13  31795  stoweidlem22  31804  stoweidlem23  31805  stoweidlem26  31808  stoweidlem42  31824  stoweidlem47  31829  stirlinglem5  31860  dirkertrigeqlem2  31881  fourierdlem26  31915  fourierdlem36  31925  fourierdlem40  31929  fourierdlem41  31930  fourierdlem48  31937  fourierdlem49  31938  fourierdlem64  31953  fourierdlem78  31967  fourierdlem92  31981  fourierdlem97  31986  fourierdlem101  31990  fourierdlem107  31996  etransclem17  32034  etransclem46  32063  sigarperm  32077  sineq0ALT  33737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831