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Theorem neibastop2 29042
 Description: In the topology generated by a neighborhood base, a set is a neighborhood of a point iff it contains a subset in the base. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1
neibastop1.2
neibastop1.3
neibastop1.4
neibastop1.5
neibastop1.6
Assertion
Ref Expression
neibastop2
Distinct variable groups:   ,,,   ,J   ,,J   ,,,,,,P   ,N,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,

Proof of Theorem neibastop2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop1.1 . . . . . . . . 9
2 neibastop1.2 . . . . . . . . 9
3 neibastop1.3 . . . . . . . . 9
4 neibastop1.4 . . . . . . . . 9
51, 2, 3, 4neibastop1 29040 . . . . . . . 8
6 topontop 18930 . . . . . . . 8
75, 6syl 16 . . . . . . 7
87adantr 465 . . . . . 6
9 eqid 2454 . . . . . . 7
109neii1 19109 . . . . . 6
118, 10sylan 471 . . . . 5
12 toponuni 18931 . . . . . . 7
135, 12syl 16 . . . . . 6
1413ad2antrr 725 . . . . 5
1511, 14sseqtr4d 3507 . . . 4
16 neii2 19111 . . . . . 6
178, 16sylan 471 . . . . 5
18 pweq 3979 . . . . . . . . . . 11
1918ineq2d 3666 . . . . . . . . . 10
2019neeq1d 2730 . . . . . . . . 9
2120raleqbi1dv 3034 . . . . . . . 8
2221, 4elrab2 3229 . . . . . . 7
23 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . 13
24 sspwb 4658 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
26 sslin 3690 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11
28 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . 13
29 snssg 4124 . . . . . . . . . . . . . 14
3029ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . 13
3128, 30mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
32 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332ineq1d 3665 . . . . . . . . . . . . . 14
3433neeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . 13
3534rspcv 3178 . . . . . . . . . . . 12
3631, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11
37 ssn0 3784 . . . . . . . . . . 11
3827, 36, 37syl6an 545 . . . . . . . . . 10
3938expr 615 . . . . . . . . 9
4039com23 78 . . . . . . . 8
4140expimpd 603 . . . . . . 7
4222, 41syl5bi 217 . . . . . 6
4342rexlimdv 2949 . . . . 5
4417, 43mpd 15 . . . 4
4515, 44jca 532 . . 3
4645ex 434 . 2
47 n0 3760 . . . 4
48 elin 3653 . . . . . 6
49 simprl 755 . . . . . . . . 9
5013ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
5149, 50sseqtrd 3506 . . . . . . . 8
521ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
532ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
54 simpll 753 . . . . . . . . . 10
5554, 3sylan 471 . . . . . . . . 9
56 neibastop1.5 . . . . . . . . . 10
5754, 56sylan 471 . . . . . . . . 9
58 neibastop1.6 . . . . . . . . . 10
5954, 58sylan 471 . . . . . . . . 9
60 simplr 754 . . . . . . . . 9
61 simprrl 763 . . . . . . . . 9
62 simprrr 764 . . . . . . . . . 10
6362elpwid 3986 . . . . . . . . 9
64 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6564ineq1d 3665 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665cbviunv 4326 . . . . . . . . . . . . . 14
67 pweq 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6867ineq2d 3666 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968iuneq2d 4314 . . . . . . . . . . . . . 14
7066, 69syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . 13
7170cbviunv 4326 . . . . . . . . . . . 12
7271mpteq2i 4492 . . . . . . . . . . 11
73 rdgeq1 7001 . . . . . . . . . . 11
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
7574reseq1i 5223 . . . . . . . . 9
76 pweq 3979 . . . . . . . . . . . . . 14
7776ineq2d 3666 . . . . . . . . . . . . 13
7877neeq1d 2730 . . . . . . . . . . . 12
7978cbvrexv 3057 . . . . . . . . . . 11
80 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . 14
8180ineq1d 3665 . . . . . . . . . . . . 13
8281neeq1d 2730 . . . . . . . . . . . 12
8382rexbidv 2875 . . . . . . . . . . 11
8479, 83syl5bb 257 . . . . . . . . . 10
8584cbvrabv 3080 . . . . . . . . 9
8652, 53, 55, 4, 57, 59, 60, 49, 61, 63, 75, 85neibastop2lem 29041 . . . . . . . 8
877ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
8860, 50eleqtrd 2544 . . . . . . . . 9
899isneip 19108 . . . . . . . . 9
9087, 88, 89syl2anc 661 . . . . . . . 8
9151, 86, 90mpbir2and 913 . . . . . . 7
9291expr 615 . . . . . 6
9348, 92syl5bi 217 . . . . 5
9493exlimdv 1691 . . . 4
9547, 94syl5bi 217 . . 3
9695expimpd 603 . 2
9746, 96impbid 191 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  E.wex 1587  e.wcel 1758  =/=wne 2648  A.wral 2800  E.wrex 2801  {crab 2804   cvv 3081  \cdif 3439  i^icin 3441  C_wss 3442   c0 3751  ~Pcpw 3976  {csn 3993  U.cuni 4208  U_ciun 4288  e.cmpt 4467  rancrn 4958  |cres 4959  -->wf 5533  cfv 5537   com 6609  reccrdg 6999   ctop 18897   ctopon 18898   cnei 19100 This theorem is referenced by:  neibastop3  29043 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-om 6610  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-top 18902  df-topon 18905  df-nei 19101
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