MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neindisj2 Unicode version

Theorem neindisj2 18827
Description: A point belongs to the closure of a set iff every neighborhood of meets . (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tpnei.1
Assertion
Ref Expression
neindisj2
Distinct variable groups:   ,J   P,   S,   ,

Proof of Theorem neindisj2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tpnei.1 . . 3
21elcls 18777 . 2
31isneip 18809 . . . . . . . 8
4 r19.29r 2938 . . . . . . . . . . 11
5 pm3.35 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 ssrin 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7 sseq2 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8 ss0 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
97, 8syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106, 9syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1110necon3d 2669 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125, 11syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
1413com23 78 . . . . . . . . . . . . 13
1514imp31 432 . . . . . . . . . . . 12
1615rexlimivw 2917 . . . . . . . . . . 11
174, 16syl 16 . . . . . . . . . 10
1817ex 434 . . . . . . . . 9
1918adantl 466 . . . . . . . 8
203, 19syl6bi 228 . . . . . . 7
21203adant2 1007 . . . . . 6
2221com23 78 . . . . 5
2322imp 429 . . . 4
2423ralrimiv 2878 . . 3
25 opnneip 18823 . . . . . . . . . 10
26 ineq1 3627 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726neeq1d 2722 . . . . . . . . . . . . . 14
2827rspccva 3152 . . . . . . . . . . . . 13
29 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15
30293exp 1187 . . . . . . . . . . . . . 14
3130com14 88 . . . . . . . . . . . . 13
3228, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3332ex 434 . . . . . . . . . . 11
3433com3l 81 . . . . . . . . . 10
3525, 34mpcom 36 . . . . . . . . 9
36353expia 1190 . . . . . . . 8
3736com25 91 . . . . . . 7
3837ex 434 . . . . . 6
3938com25 91 . . . . 5
40393imp1 1201 . . . 4
4140ralrimiv 2878 . . 3
4224, 41impbida 828 . 2
432, 42bitrd 253 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1757  =/=wne 2641  A.wral 2792  E.wrex 2793  i^icin 3409  C_wss 3410   c0 3719  {csn 3959  U.cuni 4173  `cfv 5500   ctop 18598   ccl 18722   cnei 18801
This theorem is referenced by:  islp2  18849  trnei  19565  flimclsi  19651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4174  df-int 4211  df-iun 4255  df-iin 4256  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-id 4718  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-top 18603  df-cld 18723  df-ntr 18724  df-cls 18725  df-nei 18802
  Copyright terms: Public domain W3C validator