Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfcprod Unicode version

Theorem nfcprod 13718
 Description: Bound-variable hypothesis builder for product: if is (effectively) not free in and , it is not free in . (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nfcprod.1
nfcprod.2
Assertion
Ref Expression
nfcprod
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem nfcprod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-prod 13713 . 2
2 nfcv 2619 . . . . 5
3 nfcprod.1 . . . . . . 7
4 nfcv 2619 . . . . . . 7
53, 4nfss 3496 . . . . . 6
6 nfv 1707 . . . . . . . . 9
7 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11
8 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11
93nfcri 2612 . . . . . . . . . . . . 13
10 nfcprod.2 . . . . . . . . . . . . 13
11 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
129, 10, 11nfif 3970 . . . . . . . . . . . 12
132, 12nfmpt 4540 . . . . . . . . . . 11
147, 8, 13nfseq 12117 . . . . . . . . . 10
15 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
16 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
1714, 15, 16nfbr 4496 . . . . . . . . 9
186, 17nfan 1928 . . . . . . . 8
1918nfex 1948 . . . . . . 7
204, 19nfrex 2920 . . . . . 6
21 nfcv 2619 . . . . . . . 8
2221, 8, 13nfseq 12117 . . . . . . 7
23 nfcv 2619 . . . . . . 7
2422, 15, 23nfbr 4496 . . . . . 6
255, 20, 24nf3an 1930 . . . . 5
262, 25nfrex 2920 . . . 4
27 nfcv 2619 . . . . 5
28 nfcv 2619 . . . . . . . 8
29 nfcv 2619 . . . . . . . 8
3028, 29, 3nff1o 5819 . . . . . . 7
31 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12
3231, 10nfcsb 3452 . . . . . . . . . . 11
3327, 32nfmpt 4540 . . . . . . . . . 10
3411, 8, 33nfseq 12117 . . . . . . . . 9
3534, 21nffv 5878 . . . . . . . 8
3635nfeq2 2636 . . . . . . 7
3730, 36nfan 1928 . . . . . 6
3837nfex 1948 . . . . 5
3927, 38nfrex 2920 . . . 4
4026, 39nfor 1935 . . 3
4140nfiota 5560 . 2
421, 41nfcxfr 2617 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  F/_wnfc 2605  =/=wne 2652  E.wrex 2808  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  iotacio 5554  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cn 10561   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   cli 13307  prod_`cprod 13712 This theorem is referenced by:  fprod2dlem  13784  fprodcom2  13788  fprodcncf  31704 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seq 12108  df-prod 13713
 Copyright terms: Public domain W3C validator