Theorem nfcprod 13718

Description: Bound-variable hypothesis builder for product: if is (effectively) not free in and , it is not free in . (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfcprod.1
nfcprod.2

Assertion

Ref	Expression
nfcprod

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem nfcprod

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-prod 13713	. 2
2		nfcv 2619	. . . . 5
3		nfcprod.1	. . . . . . 7
4		nfcv 2619	. . . . . . 7
5	3, 4	nfss 3496	. . . . . 6
6		nfv 1707	. . . . . . . . 9
7		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11
8		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11
9	3	nfcri 2612	. . . . . . . . . . . . 13
10		nfcprod.2	. . . . . . . . . . . . 13
11		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . 13
12	9, 10, 11	nfif 3970	. . . . . . . . . . . 12
13	2, 12	nfmpt 4540	. . . . . . . . . . 11
14	7, 8, 13	nfseq 12117	. . . . . . . . . 10
15		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10
16		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10
17	14, 15, 16	nfbr 4496	. . . . . . . . 9
18	6, 17	nfan 1928	. . . . . . . 8
19	18	nfex 1948	. . . . . . 7
20	4, 19	nfrex 2920	. . . . . 6
21		nfcv 2619	. . . . . . . 8
22	21, 8, 13	nfseq 12117	. . . . . . 7
23		nfcv 2619	. . . . . . 7
24	22, 15, 23	nfbr 4496	. . . . . 6
25	5, 20, 24	nf3an 1930	. . . . 5
26	2, 25	nfrex 2920	. . . 4
27		nfcv 2619	. . . . 5
28		nfcv 2619	. . . . . . . 8
29		nfcv 2619	. . . . . . . 8
30	28, 29, 3	nff1o 5819	. . . . . . 7
31		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . 12
32	31, 10	nfcsb 3452	. . . . . . . . . . 11
33	27, 32	nfmpt 4540	. . . . . . . . . 10
34	11, 8, 33	nfseq 12117	. . . . . . . . 9
35	34, 21	nffv 5878	. . . . . . . 8
36	35	nfeq2 2636	. . . . . . 7
37	30, 36	nfan 1928	. . . . . 6
38	37	nfex 1948	. . . . 5
39	27, 38	nfrex 2920	. . . 4
40	26, 39	nfor 1935	. . 3
41	40	nfiota 5560	. 2
42	1, 41	nfcxfr 2617	1

Syntax hints:  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  F/_wnfc 2605  =/=wne 2652  E.wrex 2808  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  iotacio 5554  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514  cmul 9518  cn 10561  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cli 13307  prod_cprod 13712

This theorem is referenced by:  fprod2dlem  13784  fprodcom2  13788  fprodcncf  31704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seq 12108  df-prod 13713