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Theorem nn01to3 11204
Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn01to3

Proof of Theorem nn01to3
StepHypRef Expression
1 3mix3 1167 . . 3
21a1d 25 . 2
3 nn0re 10829 . . . . . . . . . 10
433ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
5 3re 10634 . . . . . . . . . 10
65a1i 11 . . . . . . . . 9
7 simp3 998 . . . . . . . . 9
84, 6, 7leltned 9757 . . . . . . . 8
9 nesym 2729 . . . . . . . 8
108, 9syl6rbb 262 . . . . . . 7
11 elnnnn0c 10866 . . . . . . . . 9
12 orc 385 . . . . . . . . . . . 12
1312a1d 25 . . . . . . . . . . 11
1413a1d 25 . . . . . . . . . 10
15 eluz2b3 11184 . . . . . . . . . . . 12
16 eluz2 11116 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1817a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
21 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22 leltne 9695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2319, 20, 21, 22syl3an 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
24 2z 10921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
27 df-3 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2928breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3029biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
32 btwnnz 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3325, 26, 31, 32syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3433pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3534exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3635com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3736pm2.43i 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38373ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3923, 38sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4039com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4118, 40pm2.61ine 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4216, 41sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
4443olcd 393 . . . . . . . . . . . . 13
4544ex 434 . . . . . . . . . . . 12
4615, 45sylbir 213 . . . . . . . . . . 11
4746expcom 435 . . . . . . . . . 10
4814, 47pm2.61ine 2770 . . . . . . . . 9
4911, 48sylbir 213 . . . . . . . 8
50493adant3 1016 . . . . . . 7
5110, 50sylbid 215 . . . . . 6
5251impcom 430 . . . . 5
5352orcd 392 . . . 4
54 df-3or 974 . . . 4
5553, 54sylibr 212 . . 3
5655ex 434 . 2
572, 56pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cn 10561  2c2 10610  3c3 10611   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110
This theorem is referenced by:  hash1to3  12530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111
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