MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcl Unicode version

Theorem nn0addcl 10856
Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0addcl

Proof of Theorem nn0addcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10566 . 2
2 id 22 . . 3
3 df-n0 10821 . . 3
4 nnaddcl 10583 . . . 4
54adantl 466 . . 3
62, 3, 5un0addcl 10854 . 2
71, 6mpan 670 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  C_wss 3475  (class class class)co 6296   cc 9511   caddc 9516   cn 10561   cn0 10820
This theorem is referenced by:  nn0addcli  10858  peano2nn0  10861  nn0addcld  10881  nn0readdcl  10883  elfz0addOLD  11805  difelfznle  11818  elfzodifsumelfzo  11882  expadd  12208  faclbnd4lem3  12373  faclbnd5  12376  faclbnd6  12377  facavg  12379  ccatlen  12594  swrdswrdlem  12684  swrdswrd  12685  swrdccatin1  12708  swrdccatin12lem3  12715  swrdccatid  12722  splfv2a  12732  repswswrd  12756  repswccat  12757  cshwcsh2id  12796  fsumnn0cl  13558  bcxmas  13647  eftlub  13844  4sqlem1  14466  psgnunilem2  16520  sylow1lem1  16618  psrbagaddcl  18020  psrbagaddclOLD  18021  nn0subm  18473  expmhm  18485  dvnadd  22332  ply1divex  22537  coemullem  22647  coemulhi  22651  plymul0or  22677  chtublem  23486  2sqlem7  23645  vdgrf  24898  numclwwlk2lem1  25102  relexpsucr  29053  relexpadd  29061  nn0risefaccl  29144  ply1mulgsumlem1  32986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-nn 10562  df-n0 10821
  Copyright terms: Public domain W3C validator