MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ex Unicode version

Theorem nn0ex 10826
Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ex

Proof of Theorem nn0ex
StepHypRef Expression
1 df-n0 10821 . 2
2 nnex 10567 . . 3
3 snex 4693 . . 3
42, 3unex 6598 . 2
51, 4eqeltri 2541 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  {csn 4029  0cc0 9513   cn 10561   cn0 10820
This theorem is referenced by:  nn0ennn  12089  nnenom  12090  fsuppmapnn0fiub0  12099  suppssfz  12100  fsuppmapnn0ub  12101  mptnn0fsupp  12103  mptnn0fsuppr  12105  elovmptnn0wrd  12584  expcnv  13675  geolim  13679  cvgrat  13692  mertenslem2  13694  eftlub  13844  bitsfval  14073  bitsf  14077  sadfval  14102  smufval  14127  smupf  14128  1arith  14445  ramcl  14547  fsfnn0gsumfsffz  17011  gsummptnn0fz  17014  psrbag  18013  coe1fval  18244  fvcoe1  18246  coe1fval3  18247  coe1f2  18248  coe1sfi  18252  coe1sfiOLD  18253  coe1fsupp  18254  00ply1bas  18281  ply1plusgfvi  18283  coe1z  18304  coe1add  18305  coe1addfv  18306  coe1mul2lem1  18308  coe1mul2lem2  18309  coe1mul2  18310  coe1tm  18314  coe1sclmul  18323  coe1sclmulfv  18324  coe1sclmul2  18325  ply1coefsupp  18336  ply1coe  18337  ply1coeOLD  18338  gsumsmonply1  18345  gsummoncoe1  18346  evls1gsumadd  18361  evls1gsummul  18362  evl1gsummul  18396  nn0srg  18486  pmatcollpw1  19277  pmatcollpw2lem  19278  pmatcollpw2  19279  pmatcollpw3lem  19284  pm2mpcl  19298  idpm2idmp  19302  mply1topmatcllem  19304  mply1topmatcl  19306  mp2pm2mplem2  19308  mp2pm2mplem5  19311  mp2pm2mp  19312  pm2mpghmlem2  19313  pm2mpghm  19317  pm2mpmhmlem2  19320  monmat2matmon  19325  pm2mp  19326  chfacfscmulgsum  19361  chfacfpmmulgsum  19365  cpmidpmatlem2  19372  cpmadumatpolylem1  19382  cpmadumatpolylem2  19383  chcoeffeqlem  19386  cayhamlem3  19388  cayhamlem4  19389  dyadmax  22007  cpnfval  22335  deg1ldg  22492  deg1leb  22495  deg1val  22496  deg1valOLD  22497  deg1mul3  22516  deg1mul3le  22517  uc1pmon1p  22552  plyval  22590  elply2  22593  plyf  22595  elplyr  22598  plyeq0lem  22607  plyeq0  22608  plypf1  22609  plyaddlem1  22610  plyaddlem  22612  plymullem  22613  coeeulem  22621  coeeq  22624  dgrlem  22626  coeidlem  22634  coeaddlem  22646  coemulc  22652  coe0  22653  coesub  22654  dgradd2  22665  dgrcolem2  22671  plydivlem4  22692  plydiveu  22694  vieta1lem2  22707  taylfval  22754  pserval  22805  dvradcnv  22816  pserdvlem2  22823  abelthlem1  22826  abelthlem3  22828  abelthlem6  22831  logtayl  23041  leibpi  23273  sqff1o  23456  wwlkn  24682  clwwlkn  24767  clwwlknprop  24772  iseupa  24965  eulerpartleme  28302  eulerpartlem1  28306  eulerpartlemt  28310  eulerpartgbij  28311  eulerpartlemr  28313  eulerpartlemmf  28314  eulerpartlemgvv  28315  eulerpartlemgs2  28319  eulerpartlemn  28320  fib0  28338  fib1  28339  fibp1  28340  dfrtrclrec2  29066  rtrclreclem.refl  29067  rtrclreclem.subset  29068  rtrclreclem.min  29070  bpolylem  29810  heiborlem3  30309  eldiophb  30690  diophrw  30692  hbtlem1  31072  hbtlem7  31074  dgrsub2  31084  mpaaeu  31099  deg1mhm  31167  radcnvrat  31195  binomcxplemrat  31255  binomcxplemnotnn0  31261  expfac  31663  dvnprodlem1  31743  dvnprodlem2  31744  dvnprodlem3  31745  etransclem24  32041  etransclem25  32042  etransclem26  32043  etransclem28  32045  etransclem35  32052  etransclem37  32054  etransclem48  32065  ply1mulgsum  32990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-nn 10562  df-n0 10821
  Copyright terms: Public domain W3C validator