MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0gcdsq Unicode version

Theorem nn0gcdsq 14285
Description: Squaring commutes with GCD, in particular two coprime numbers have coprime squares. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0gcdsq

Proof of Theorem nn0gcdsq
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . 2
2 elnn0 10822 . 2
3 sqgcd 14196 . . 3
4 nncn 10569 . . . . . . 7
5 abssq 13139 . . . . . . 7
64, 5syl 16 . . . . . 6
7 nnz 10911 . . . . . . . 8
8 gcd0id 14161 . . . . . . . 8
97, 8syl 16 . . . . . . 7
109oveq1d 6311 . . . . . 6
11 sq0 12259 . . . . . . . . 9
1211a1i 11 . . . . . . . 8
1312oveq1d 6311 . . . . . . 7
14 zsqcl 12238 . . . . . . . 8
15 gcd0id 14161 . . . . . . . 8
167, 14, 153syl 20 . . . . . . 7
1713, 16eqtrd 2498 . . . . . 6
186, 10, 173eqtr4d 2508 . . . . 5
1918adantl 466 . . . 4
20 oveq1 6303 . . . . . . 7
2120oveq1d 6311 . . . . . 6
22 oveq1 6303 . . . . . . 7
2322oveq1d 6311 . . . . . 6
2421, 23eqeq12d 2479 . . . . 5
2524adantr 465 . . . 4
2619, 25mpbird 232 . . 3
27 nncn 10569 . . . . . . 7
28 abssq 13139 . . . . . . 7
2927, 28syl 16 . . . . . 6
30 nnz 10911 . . . . . . . 8
31 gcdid0 14162 . . . . . . . 8
3230, 31syl 16 . . . . . . 7
3332oveq1d 6311 . . . . . 6
3411a1i 11 . . . . . . . 8
3534oveq2d 6312 . . . . . . 7
36 zsqcl 12238 . . . . . . . 8
37 gcdid0 14162 . . . . . . . 8
3830, 36, 373syl 20 . . . . . . 7
3935, 38eqtrd 2498 . . . . . 6
4029, 33, 393eqtr4d 2508 . . . . 5
4140adantr 465 . . . 4
42 oveq2 6304 . . . . . . 7
4342oveq1d 6311 . . . . . 6
44 oveq1 6303 . . . . . . 7
4544oveq2d 6312 . . . . . 6
4643, 45eqeq12d 2479 . . . . 5
4746adantl 466 . . . 4
4841, 47mpbird 232 . . 3
49 gcd0val 14147 . . . . . 6
5049oveq1i 6306 . . . . 5
5111, 11oveq12i 6308 . . . . . 6
5251, 49eqtri 2486 . . . . 5
5311, 50, 523eqtr4i 2496 . . . 4
54 oveq12 6305 . . . . 5
5554oveq1d 6311 . . . 4
5622, 44oveqan12d 6315 . . . 4
5753, 55, 563eqtr4a 2524 . . 3
583, 26, 48, 57ccase 946 . 2
591, 2, 58syl2anb 479 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cexp 12166   cabs 13067   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  zgcdsq  14286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator