Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ind-raph Unicode version

Theorem nn0ind-raph 10989
 Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Raph Levien remarks: "This seems a bit painful. I wonder if an explicit substitution version would be easier." (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0ind-raph.1
nn0ind-raph.2
nn0ind-raph.3
nn0ind-raph.4
nn0ind-raph.5
nn0ind-raph.6
Assertion
Ref Expression
nn0ind-raph
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem nn0ind-raph
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . 2
2 dfsbcq2 3330 . . . 4
3 nfv 1707 . . . . 5
4 nn0ind-raph.2 . . . . 5
53, 4sbhypf 3156 . . . 4
6 nfv 1707 . . . . 5
7 nn0ind-raph.3 . . . . 5
86, 7sbhypf 3156 . . . 4
9 nfv 1707 . . . . 5
10 nn0ind-raph.4 . . . . 5
119, 10sbhypf 3156 . . . 4
12 nfsbc1v 3347 . . . . 5
13 1ex 9612 . . . . 5
14 c0ex 9611 . . . . . . 7
15 0nn0 10835 . . . . . . . . . . . 12
16 eleq1a 2540 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
18 nn0ind-raph.5 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 nn0ind-raph.1 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . 14
21 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221, 4syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322pm5.74d 247 . . . . . . . . . . . . . 14
2420, 23mpbii 211 . . . . . . . . . . . . 13
2524com12 31 . . . . . . . . . . . 12
2614, 25vtocle 3183 . . . . . . . . . . 11
27 nn0ind-raph.6 . . . . . . . . . . 11
2817, 26, 27sylc 60 . . . . . . . . . 10
2928adantr 465 . . . . . . . . 9
30 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13
31 0p1e1 10672 . . . . . . . . . . . . 13
3230, 31syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12
3332eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
3433, 7syl6bir 229 . . . . . . . . . 10
3534imp 429 . . . . . . . . 9
3629, 35mpbird 232 . . . . . . . 8
3736ex 434 . . . . . . 7
3814, 37vtocle 3183 . . . . . 6
39 sbceq1a 3338 . . . . . 6
4038, 39mpbid 210 . . . . 5
4112, 13, 40vtoclef 3182 . . . 4
42 nnnn0 10827 . . . . 5
4342, 27syl 16 . . . 4
442, 5, 8, 11, 41, 43nnind 10579 . . 3
45 nfv 1707 . . . . 5
46 eqeq1 2461 . . . . . 6
4719bicomd 201 . . . . . . . . 9
4847, 10sylan9bb 699 . . . . . . . 8
4918, 48mpbii 211 . . . . . . 7
5049ex 434 . . . . . 6
5146, 50sylbird 235 . . . . 5
5245, 14, 51vtoclef 3182 . . . 4
5352eqcoms 2469 . . 3
5444, 53jaoi 379 . 2
551, 54sylbi 195 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  [wsb 1739  e.wcel 1818  [.wsbc 3327  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cn 10561   cn0 10820 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-nn 10562  df-n0 10821
 Copyright terms: Public domain W3C validator