Theorem nn0ind-raph 10989

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Raph Levien remarks: "This seems a bit painful. I wonder if an explicit substitution version would be easier." (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0ind-raph.1
nn0ind-raph.2
nn0ind-raph.3
nn0ind-raph.4
nn0ind-raph.5
nn0ind-raph.6

Assertion

Ref	Expression
nn0ind-raph

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem nn0ind-raph

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 10822	. 2
2		dfsbcq2 3330	. . . 4
3		nfv 1707	. . . . 5
4		nn0ind-raph.2	. . . . 5
5	3, 4	sbhypf 3156	. . . 4
6		nfv 1707	. . . . 5
7		nn0ind-raph.3	. . . . 5
8	6, 7	sbhypf 3156	. . . 4
9		nfv 1707	. . . . 5
10		nn0ind-raph.4	. . . . 5
11	9, 10	sbhypf 3156	. . . 4
12		nfsbc1v 3347	. . . . 5
13		1ex 9612	. . . . 5
14		c0ex 9611	. . . . . . 7
15		0nn0 10835	. . . . . . . . . . . 12
16		eleq1a 2540	. . . . . . . . . . . 12
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
18		nn0ind-raph.5	. . . . . . . . . . . . . . 15
19		nn0ind-raph.1	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	18, 19	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . . 14
21		eqeq2 2472	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	21, 4	syl6bir 229	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	pm5.74d 247	. . . . . . . . . . . . . 14
24	20, 23	mpbii 211	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	com12 31	. . . . . . . . . . . 12
26	14, 25	vtocle 3183	. . . . . . . . . . 11
27		nn0ind-raph.6	. . . . . . . . . . 11
28	17, 26, 27	sylc 60	. . . . . . . . . 10
29	28	adantr 465	. . . . . . . . 9
30		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . 13
31		0p1e1 10672	. . . . . . . . . . . . 13
32	30, 31	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . 12
33	32	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . 11
34	33, 7	syl6bir 229	. . . . . . . . . 10
35	34	imp 429	. . . . . . . . 9
36	29, 35	mpbird 232	. . . . . . . 8
37	36	ex 434	. . . . . . 7
38	14, 37	vtocle 3183	. . . . . 6
39		sbceq1a 3338	. . . . . 6
40	38, 39	mpbid 210	. . . . 5
41	12, 13, 40	vtoclef 3182	. . . 4
42		nnnn0 10827	. . . . 5
43	42, 27	syl 16	. . . 4
44	2, 5, 8, 11, 41, 43	nnind 10579	. . 3
45		nfv 1707	. . . . 5
46		eqeq1 2461	. . . . . 6
47	19	bicomd 201	. . . . . . . . 9
48	47, 10	sylan9bb 699	. . . . . . . 8
49	18, 48	mpbii 211	. . . . . . 7
50	49	ex 434	. . . . . 6
51	46, 50	sylbird 235	. . . . 5
52	45, 14, 51	vtoclef 3182	. . . 4
53	52	eqcoms 2469	. . 3
54	44, 53	jaoi 379	. 2
55	1, 54	sylbi 195	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  [wsb 1739  e.wcel 1818  [.wsbc 3327  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cn 10561  cn0 10820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-nn 10562  df-n0 10821