MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ind Unicode version

Theorem nn0ind 10984
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0ind.1
nn0ind.2
nn0ind.3
nn0ind.4
nn0ind.5
nn0ind.6
Assertion
Ref Expression
nn0ind
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem nn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 10902 . 2
2 0z 10900 . . 3
3 nn0ind.1 . . . 4
4 nn0ind.2 . . . 4
5 nn0ind.3 . . . 4
6 nn0ind.4 . . . 4
7 nn0ind.5 . . . . 5
87a1i 11 . . . 4
9 elnn0z 10902 . . . . . 6
10 nn0ind.6 . . . . . 6
119, 10sylbir 213 . . . . 5
12113adant1 1014 . . . 4
133, 4, 5, 6, 8, 12uzind 10979 . . 3
142, 13mp3an1 1311 . 2
151, 14sylbi 195 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cle 9650   cn0 10820   cz 10889
This theorem is referenced by:  nn0indALT  10985  nn0indd  10986  zindd  10990  fzennn  12078  mulexp  12205  expadd  12208  expmul  12211  leexp1a  12224  bernneq  12292  modexp  12301  faccl  12363  facdiv  12365  facwordi  12367  faclbnd  12368  faclbnd6  12377  facubnd  12378  bccl  12400  wrdind  12702  wrd2ind  12703  cshweqrep  12789  cjexp  12983  absexp  13137  iseraltlem2  13505  binom  13642  bcxmas  13647  climcndslem1  13661  demoivreALT  13936  ruclem8  13970  odd2np1lem  14045  bitsinv1  14092  sadcadd  14108  sadadd2  14110  saddisjlem  14114  smu01lem  14135  smumullem  14142  alginv  14204  prmfac1  14259  pcfac  14418  ramcl  14547  mhmmulg  16174  psgnunilem3  16521  sylow1lem1  16618  efgsrel  16752  efgsfo  16757  efgred  16766  srgmulgass  17182  srgpcomp  17183  srgbinom  17196  lmodvsmmulgdi  17547  assamulgscm  17999  mplcoe3  18128  mplcoe3OLD  18129  cnfldexp  18451  tmdmulg  20591  expcn  21376  dvnadd  22332  dvnres  22334  dvnfre  22355  ply1divex  22537  fta1g  22568  plyco  22638  dgrco  22672  dvnply2  22683  plydivex  22693  fta1  22704  cxpmul2  23070  dchrisumlem1  23674  qabvle  23810  qabvexp  23811  ostth2lem2  23819  rusgranumwlk  24957  eupath2  24980  ex-ind-dvds  25170  gxnn0add  25276  gxnn0mul  25279  facgam  28608  subfacval2  28631  cvmliftlem7  28736  relexpsucl  29055  relexpcnv  29056  relexpdm  29058  relexprn  29059  relexpadd  29061  relexpindlem  29062  rtrclreclem.min  29070  binomfallfac  29163  faclim  29171  faclim2  29173  heiborlem4  30310  mzpexpmpt  30677  pell14qrexpclnn0  30802  rmxypos  30885  jm2.17a  30898  jm2.17b  30899  rmygeid  30902  jm2.19lem3  30933  hbtlem5  31077  cnsrexpcl  31114  fperiodmullem  31503  m1expeven  31585  stoweidlem17  31799  stoweidlem19  31801  wallispilem3  31849  lmodvsmdi  32975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator