MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0le0eq0 Unicode version

Theorem nn0le0eq0 10693
Description: A nonnegative integer is less than or equal to zero iff it is equal to zero. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0le0eq0

Proof of Theorem nn0le0eq0
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 10690 . . 3
21biantrud 507 . 2
3 nn0re 10673 . . 3
4 0re 9471 . . 3
5 letri3 9545 . . 3
63, 4, 5sylancl 662 . 2
72, 6bitr4d 256 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757   class class class wbr 4374   cr 9366  0cc0 9367   cle 9504   cn0 10664
This theorem is referenced by:  facwordi  12150  swrdccat3a  12471  swrdccat3blem  12472  algcvgblem  13838  pcpre1  13995  ramz2  14171  deg1scl  21685  0dgr  21813  coemulc  21822  ppieq0  22614  eulerpartlems  26861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443  ax-pre-mulgt0 9444
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-om 6561  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-er 7185  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-xr 9507  df-ltxr 9508  df-le 9509  df-sub 9682  df-neg 9683  df-nn 10408  df-n0 10665
  Copyright terms: Public domain W3C validator