Theorem nn0mulcld 10882

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1
nn0addcld.2

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2
2		nn0addcld.2	. 2
3		nn0mulcl 10857	. 2
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cmul 9518  cn0 10820

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  11984  expmulz  12212  faclbnd4lem3  12373  mulgcd  14184  rpmulgcd2  14246  odzdvds  14322  prmreclem3  14436  vdwapf  14490  vdwlem5  14503  vdwlem6  14504  odmodnn0  16564  odmulg  16578  odadd  16856  ablfacrplem  17116  ablfacrp2  17118  dchrisumlem1  23674  eulerpartlemsv2  28297  eulerpartlemsf  28298  eulerpartlems  28299  eulerpartlemv  28303  eulerpartlemb  28307  erdsze2lem1  28647  erdsze2lem2  28648  pell1qrge1  30806  jm2.27c  30949  rmxdiophlem  30957  hashgcdlem  31157  m1expeven  31585  stoweidlem1  31783  wallispilem4  31850  wallispilem5  31851  wallispi2lem2  31854  stirlinglem3  31858  stirlinglem5  31860  stirlinglem7  31862  stirlinglem10  31865  stirlinglem11  31866  etransclem32  32049  etransclem44  32061  etransclem46  32063  ply1mulgsumlem2  32987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-nn 10562  df-n0 10821