Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0opthi Unicode version

Theorem nn0opthi 12350
 Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers and by . If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 4036 that works for any set. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opth.1
nn0opth.2
nn0opth.3
nn0opth.4
Assertion
Ref Expression
nn0opthi

Proof of Theorem nn0opthi
StepHypRef Expression
1 nn0opth.1 . . . . . . . . . 10
2 nn0opth.2 . . . . . . . . . 10
31, 2nn0addcli 10858 . . . . . . . . 9
43nn0rei 10831 . . . . . . . 8
5 nn0opth.3 . . . . . . . . . 10
6 nn0opth.4 . . . . . . . . . 10
75, 6nn0addcli 10858 . . . . . . . . 9
87nn0rei 10831 . . . . . . . 8
94, 8lttri2i 9719 . . . . . . 7
101, 2, 7, 6nn0opthlem2 12349 . . . . . . . . 9
1110necomd 2728 . . . . . . . 8
125, 6, 3, 2nn0opthlem2 12349 . . . . . . . 8
1311, 12jaoi 379 . . . . . . 7
149, 13sylbi 195 . . . . . 6
1514necon4i 2701 . . . . 5
16 id 22 . . . . . . . 8
1715, 15oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
1817oveq1d 6311 . . . . . . . 8
1916, 18eqtr4d 2501 . . . . . . 7
203nn0cni 10832 . . . . . . . . 9
2120, 20mulcli 9622 . . . . . . . 8
222nn0cni 10832 . . . . . . . 8
236nn0cni 10832 . . . . . . . 8
2421, 22, 23addcani 9794 . . . . . . 7
2519, 24sylib 196 . . . . . 6
2625oveq2d 6312 . . . . 5
2715, 26eqtr4d 2501 . . . 4
281nn0cni 10832 . . . . 5
295nn0cni 10832 . . . . 5
3028, 29, 22addcan2i 9795 . . . 4
3127, 30sylib 196 . . 3
3231, 25jca 532 . 2
33 oveq12 6305 . . . 4
3433, 33oveq12d 6314 . . 3
35 simpr 461 . . 3
3634, 35oveq12d 6314 . 2
3732, 36impbii 188 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cn0 10820 This theorem is referenced by:  nn0opth2i  12351 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
 Copyright terms: Public domain W3C validator