MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0red Unicode version

Theorem nn0red 10878
Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1
Assertion
Ref Expression
nn0red

Proof of Theorem nn0red
StepHypRef Expression
1 nn0ssre 10824 . 2
2 nn0red.1 . 2
31, 2sseldi 3501 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818   cr 9512   cn0 10820
This theorem is referenced by:  nn0cnd  10879  nn0readdcl  10883  flmulnn0  11960  quoremz  11982  quoremnn0ALT  11984  modaddmodup  12050  modaddmodlo  12051  expneg  12174  expnbnd  12295  facdiv  12365  faclbnd6  12377  hashdom  12447  hashun2  12451  hashunx  12454  hashfun  12495  hashf1  12506  seqcoll2  12513  hashge2el2dif  12521  hashtpg  12523  wrdlenge2n0  12577  ccatval1  12595  ccatsymb  12600  ccatrn  12606  swrdccat3blem  12720  cshwidxmod  12774  repswcshw  12780  swrds2  12883  modfsummods  13607  climcnds  13663  geomulcvg  13685  mertenslem1  13693  efcllem  13813  eftlub  13844  ruclem10  13972  bitsfzolem  14084  bitsfzo  14085  bitsmod  14086  sadcaddlem  14107  sadaddlem  14116  sadasslem  14120  sadeq  14122  smuval2  14132  smupvallem  14133  smueqlem  14140  bezoutlem3  14178  bezoutlem4  14179  gcdeq  14190  dvdssqlem  14197  nn0seqcvgd  14199  eucalglt  14214  mulgcddvds  14245  qredeu  14248  prmdiveq  14316  odzdvds  14322  pythagtriplem3  14342  pythagtriplem6  14345  pythagtriplem7  14346  iserodd  14359  pclem  14362  pcpremul  14367  pcidlem  14395  pcgcd1  14400  pc2dvds  14402  pcz  14404  pcprmpw2  14405  fldivp1  14416  pcfaclem  14417  pcfac  14418  pcbc  14419  prmreclem2  14435  prmreclem3  14436  prmreclem4  14437  prmreclem5  14438  4sqlem11  14473  4sqlem12  14474  4sqlem14  14476  vdwlem11  14509  vdwlem12  14510  ramlb  14537  0ram  14538  ram0  14540  ramub1lem2  14545  ramcl  14547  psgnunilem2  16520  odmodnn0  16564  mndodconglem  16565  mndodcong  16566  oddvds  16571  odhash3  16596  gexdvds  16604  sylow1lem1  16618  sylow1lem5  16622  pgpfi  16625  pgpssslw  16634  efgsfo  16757  efgredlemd  16762  efgredlem  16765  efgred  16766  lt6abl  16897  telgsums  17022  pgpfaclem2  17133  srgbinomlem3  17193  psrbaglesupp  18017  psrbaglesuppOLD  18018  mplmonmul  18126  coe1tmmul2  18317  coe1tmmul2fv  18319  coe1pwmulfv  18321  gsummoncoe1  18346  zringlpirlem3  18511  zlpirlem3  18516  fvmptnn04if  19350  fvmptnn04ifc  19353  fvmptnn04ifd  19354  chfacfscmulgsum  19361  chfacfpmmulgsum  19365  lebnumii  21466  dyadmaxlem  22006  mbfi1fseqlem3  22124  mbfi1fseqlem4  22125  mbfi1fseqlem5  22126  mdegmullem  22478  coe1mul3  22500  coe1mul4  22501  deg1sublt  22511  deg1mul2  22515  deg1tmle  22518  deg1tm  22519  ply1divmo  22536  ply1divex  22537  deg1submon1p  22553  dvdsq1p  22561  fta1glem2  22567  fta1blem  22569  plyco0  22589  plyeq0lem  22607  plypf1  22609  plyaddlem1  22610  coeeulem  22621  dgrub  22631  dgrlb  22633  dgreq  22641  coeaddlem  22646  coemullem  22647  coemulhi  22651  dgrlt  22663  dgradd2  22665  dgrmul  22667  dgrcolem2  22671  dgrco  22672  plydivlem3  22691  plydivlem4  22692  plydivex  22693  plydiveu  22694  fta1lem  22703  quotcan  22705  vieta1lem2  22707  radcnvlem1  22808  dvradcnv  22816  leibpilem1  23271  leibpi  23273  log2tlbnd  23276  birthdaylem2  23282  birthdaylem3  23283  fsumharmonic  23341  basellem3  23356  basellem5  23358  issqf  23410  ppip1le  23435  ppiltx  23451  mumullem2  23454  sgmppw  23472  ppiub  23479  chtublem  23486  chpub  23495  dchrabs  23535  bcmono  23552  bcmax  23553  bcp1ctr  23554  bclbnd  23555  bposlem5  23563  lgseisenlem1  23624  2sqlem7  23645  2sqlem8  23647  chebbnd1lem1  23654  chtppilimlem1  23658  dchrisum0re  23698  mulogsumlem  23716  selberg2lem  23735  pntrlog2bndlem4  23765  pntlemr  23787  pntlemj  23788  pnt  23799  ostth2lem3  23820  spthispth  24575  wwlknred  24723  wwlkextproplem2  24742  vdgrfival  24897  nbhashuvtx1  24915  rusgranumwlks  24956  eupap1  24976  eupath2lem3  24979  frghash2spot  25063  usgreghash2spotv  25066  numclwwlk5  25112  numclwwlk6  25113  friendshipgt3  25121  nndiffz1  27596  2sqmod  27636  nexple  28005  oddpwdc  28293  eulerpartlems  28299  eulerpartlemgc  28301  eulerpartlemb  28307  coinfliplem  28417  eluzmn  28491  signsplypnf  28507  signslema  28519  signstfvc  28531  signstfveq0  28534  dmlogdmgm  28566  erdszelem8  28642  erdsze2lem2  28648  cvmliftlem7  28736  snmlff  28774  binomfallfaclem2  29162  binomrisefac  29164  fallfacval4  29165  rrnequiv  30331  eldioph2lem1  30693  pell1qrge1  30806  rmxypos  30885  ltrmynn0  30886  ltrmxnn0  30887  lermxnn0  30888  jm2.24nn  30897  jm2.24  30901  jm2.19  30935  jm2.26lem3  30943  jm2.27c  30949  hbt  31079  dgraa0p  31098  lcmneg  31209  binomcxplemnn0  31254  fsumnncl  31572  mccllem  31605  ioodvbdlimc1lem2  31729  ioodvbdlimc2lem  31731  dvnxpaek  31739  dvnmul  31740  dvnprodlem2  31744  stoweidlem17  31799  stoweidlem24  31806  wallispilem5  31851  stirlinglem15  31870  fourierdlem48  31937  fourierdlem83  31972  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  sqwvfoura  32011  elaa2lem  32016  etransclem10  32027  etransclem19  32036  etransclem20  32037  etransclem21  32038  etransclem22  32039  etransclem23  32040  etransclem24  32041  etransclem27  32044  etransclem32  32049  etransclem35  32052  etransclem44  32061  etransclem45  32062  etransclem46  32063  etransclem47  32064  etransclem48  32065  etransc  32066  ssnn0ssfz  32938  pgrple2abl  32958  aacllem  33216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-nn 10562  df-n0 10821
  Copyright terms: Public domain W3C validator