MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0uz Unicode version

Theorem nn0uz 11144
Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0uz

Proof of Theorem nn0uz
StepHypRef Expression
1 nn0zrab 10918 . 2
2 0z 10900 . . 3
3 uzval 11112 . . 3
42, 3ax-mp 5 . 2
51, 4eqtr4i 2489 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   class class class wbr 4452  `cfv 5593  0cc0 9513   cle 9650   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110
This theorem is referenced by:  elnn0uz  11147  2eluzge0  11154  eluznn0  11180  nn0infm  11192  fseq1p1m1  11781  fznn0sub2  11810  nn0split  11819  fzossnn0  11856  fzennn  12078  hashgf1o  12081  exple1  12225  faclbnd4lem1  12371  bcval5  12396  bcpasc  12399  hashfzo0  12488  hashf1  12506  ccatval2  12596  ccatass  12605  ccatrn  12606  swrdid  12652  swrdccat1  12682  swrdccat2  12683  wrdeqcats1  12699  wrdeqs1cat  12700  cats1un  12701  splfv2a  12732  splval2  12733  revccat  12740  cats1fv  12824  binom1dif  13645  isumnn0nn  13654  climcndslem1  13661  climcnds  13663  harmonic  13670  arisum2  13672  explecnv  13676  geoser  13678  geolim  13679  geolim2  13680  geomulcvg  13685  geoisum  13686  geoisumr  13687  mertenslem1  13693  mertenslem2  13694  mertens  13695  efcllem  13813  ef0lem  13814  eff  13817  efcvg  13820  efcvgfsum  13821  reefcl  13822  ege2le3  13825  efcj  13827  eftlcvg  13841  eftlub  13844  effsumlt  13846  ef4p  13848  efgt1p2  13849  efgt1p  13850  eflegeo  13856  eirrlem  13937  ruclem6  13968  ruclem7  13969  divalglem2  14053  divalglem5  14055  bitsfzolem  14084  bitsfzo  14085  bitsfi  14087  bitsinv1lem  14091  bitsinv1  14092  bitsinvp1  14099  sadcf  14103  sadcp1  14105  sadadd  14117  sadass  14121  bitsres  14123  smupf  14128  smupp1  14130  smuval2  14132  smupval  14138  smueqlem  14140  smumul  14143  alginv  14204  algcvg  14205  algcvga  14208  algfx  14209  eucalgcvga  14215  eucalg  14216  phiprmpw  14306  prmdiv  14315  iserodd  14359  pcfac  14418  prmreclem2  14435  prmreclem4  14437  vdwapun  14492  vdwlem1  14499  ramcl2lem  14527  ramtcl  14528  ramtub  14530  gsumwsubmcl  16006  gsumws1  16007  gsumccat  16009  gsumwmhm  16013  psgnunilem2  16520  psgnunilem4  16522  sylow1lem1  16618  efginvrel2  16745  efgredleme  16761  efgredlemc  16763  efgcpbllemb  16773  frgpuplem  16790  nn0gsumfz  17012  telgsumfz0s  17020  telgsums  17022  pgpfaclem1  17132  psrbaglefi  18023  psrbaglefiOLD  18024  ltbwe  18137  pmatcollpw3fi  19286  pmatcollpw3fi1lem1  19287  chfacfisf  19355  chfacfisfcpmat  19356  iscmet3lem3  21729  dyadmax  22007  mbfi1fseqlem3  22124  itgcnlem  22196  dvnff  22326  dvnp1  22328  dvn2bss  22333  cpncn  22339  dveflem  22380  ig1peu  22572  ig1pdvds  22577  ply1termlem  22600  plyeq0lem  22607  plyaddlem1  22610  plymullem1  22611  coeeulem  22621  dgrcl  22630  dgrub  22631  dgrlb  22633  coeid3  22637  plyco  22638  coeeq2  22639  coefv0  22645  coemulhi  22651  coemulc  22652  dvply1  22680  vieta1lem2  22707  vieta1  22708  elqaalem2  22716  elqaalem3  22717  geolim3  22735  dvntaylp  22766  taylthlem1  22768  radcnvlem1  22808  radcnvlem2  22809  radcnvlem3  22810  radcnv0  22811  radcnvlt2  22814  dvradcnv  22816  pserulm  22817  psercn2  22818  pserdvlem2  22823  pserdv2  22825  abelthlem4  22829  abelthlem5  22830  abelthlem6  22831  abelthlem7  22833  abelthlem8  22834  abelthlem9  22835  advlogexp  23036  logtayllem  23040  logtayl  23041  cxpeq  23131  leibpi  23273  leibpisum  23274  log2cnv  23275  log2tlbnd  23276  log2ublem2  23278  birthdaylem3  23283  wilthlem2  23343  ftalem1  23346  ftalem5  23350  basellem2  23355  basellem3  23356  basellem5  23358  musum  23467  0sgmppw  23473  1sgmprm  23474  chtublem  23486  logexprlim  23500  lgseisenlem1  23624  lgsquadlem2  23630  dchrisumlem1  23674  dchrisumlem2  23675  dchrisum0flblem1  23693  ostth2lem3  23820  eupares  24975  eupap1  24976  eupath2lem3  24979  eupath2  24980  konigsberg  24987  oddpwdc  28293  eulerpartlemb  28307  sseqfn  28329  sseqf  28331  signsplypnf  28507  signstcl  28522  signstf  28523  signstfvn  28526  signstfvneq0  28529  subfacval2  28631  subfaclim  28632  cvmliftlem7  28736  relexpsucr  29053  fallfacfwd  29158  0fallfac  29159  binomfallfaclem2  29162  prednn0  29282  bpolylem  29810  bpolysum  29815  bpolydiflem  29816  fsumkthpow  29818  bpoly2  29819  bpoly3  29820  bpoly4  29821  heiborlem4  30310  heiborlem6  30312  mapfzcons  30648  irrapxlem1  30758  ltrmynn0  30886  ltrmxnn0  30887  acongeq  30921  jm2.23  30938  jm2.26lem3  30943  radcnvrat  31195  bcc0  31245  dvradcnv2  31252  binomcxplemnn0  31254  binomcxplemrat  31255  binomcxplemradcnv  31257  binomcxplemnotnn0  31261  fzssnn0  31522  expfac  31663  dvnmptdivc  31735  dvnmul  31740  dvnprodlem3  31745  stoweidlem17  31799  stoweidlem34  31816  stirlinglem5  31860  stirlinglem7  31862  fourierdlem15  31904  fourierdlem25  31914  fourierdlem48  31937  fourierdlem49  31938  fourierdlem50  31939  fourierdlem52  31941  fourierdlem54  31943  fourierdlem64  31953  fourierdlem65  31954  fourierdlem81  31970  fourierdlem92  31981  fourierdlem102  31991  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  fourierdlem113  32002  fourierdlem114  32003  elaa2lem  32016  etransclem4  32021  etransclem10  32027  etransclem14  32031  etransclem15  32032  etransclem23  32040  etransclem24  32041  etransclem31  32048  etransclem32  32049  etransclem35  32052  etransclem44  32061  etransclem46  32063  etransclem48  32065  ssnn0ssfz  32938  aacllem  33216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111
  Copyright terms: Public domain W3C validator