MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn1m1nn Unicode version

Theorem nn1m1nn 10581
Description: Every positive integer is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn1m1nn

Proof of Theorem nn1m1nn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 385 . . 3
2 1cnd 9633 . . 3
31, 22thd 240 . 2
4 eqeq1 2461 . . 3
5 oveq1 6303 . . . 4
65eleq1d 2526 . . 3
74, 6orbi12d 709 . 2
8 eqeq1 2461 . . 3
9 oveq1 6303 . . . 4
109eleq1d 2526 . . 3
118, 10orbi12d 709 . 2
12 eqeq1 2461 . . 3
13 oveq1 6303 . . . 4
1413eleq1d 2526 . . 3
1512, 14orbi12d 709 . 2
16 ax-1cn 9571 . 2
17 nncn 10569 . . . . . 6
18 pncan 9849 . . . . . 6
1917, 16, 18sylancl 662 . . . . 5
20 id 22 . . . . 5
2119, 20eqeltrd 2545 . . . 4
2221olcd 393 . . 3
2322a1d 25 . 2
243, 7, 11, 15, 16, 23nnind 10579 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cn 10561
This theorem is referenced by:  nn1suc  10582  nnsub  10599  nnm1nn0  10862  nn0ge2m1nn  10886  elfznelfzo  11915  ballotlemfc0  28431  ballotlemfcc  28432  stirlinglem5  31860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-nn 10562
  Copyright terms: Public domain W3C validator