Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn1suc Unicode version

Theorem nn1suc 10582
 Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nn1suc.1
nn1suc.3
nn1suc.4
nn1suc.5
nn1suc.6
Assertion
Ref Expression
nn1suc
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem nn1suc
StepHypRef Expression
1 nn1suc.5 . . . . 5
2 1ex 9612 . . . . . 6
3 nn1suc.1 . . . . . 6
42, 3sbcie 3362 . . . . 5
51, 4mpbir 209 . . . 4
6 1nn 10572 . . . . . . 7
7 eleq1 2529 . . . . . . 7
86, 7mpbiri 233 . . . . . 6
9 nn1suc.4 . . . . . . 7
109sbcieg 3360 . . . . . 6
118, 10syl 16 . . . . 5
12 dfsbcq 3329 . . . . 5
1311, 12bitr3d 255 . . . 4
145, 13mpbiri 233 . . 3
1514a1i 11 . 2
16 ovex 6324 . . . . . 6
17 nn1suc.3 . . . . . 6
1816, 17sbcie 3362 . . . . 5
19 oveq1 6303 . . . . . 6
2019sbceq1d 3332 . . . . 5
2118, 20syl5bbr 259 . . . 4
22 nn1suc.6 . . . 4
2321, 22vtoclga 3173 . . 3
24 nncn 10569 . . . . . 6
25 ax-1cn 9571 . . . . . 6
26 npcan 9852 . . . . . 6
2724, 25, 26sylancl 662 . . . . 5
2827sbceq1d 3332 . . . 4
2928, 10bitrd 253 . . 3
3023, 29syl5ib 219 . 2
31 nn1m1nn 10581 . 2
3215, 30, 31mpjaod 381 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  [.wsbc 3327  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cn 10561 This theorem is referenced by:  opsqrlem6  27064 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-nn 10562
 Copyright terms: Public domain W3C validator