MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnacom Unicode version

Theorem nnacom 7285
Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 6-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnacom

Proof of Theorem nnacom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . . 5
2 oveq2 6304 . . . . 5
31, 2eqeq12d 2479 . . . 4
43imbi2d 316 . . 3
5 oveq1 6303 . . . . 5
6 oveq2 6304 . . . . 5
75, 6eqeq12d 2479 . . . 4
8 oveq1 6303 . . . . 5
9 oveq2 6304 . . . . 5
108, 9eqeq12d 2479 . . . 4
11 oveq1 6303 . . . . 5
12 oveq2 6304 . . . . 5
1311, 12eqeq12d 2479 . . . 4
14 nna0r 7277 . . . . 5
15 nna0 7272 . . . . 5
1614, 15eqtr4d 2501 . . . 4
17 suceq 4948 . . . . . 6
18 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
19 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
20 suceq 4948 . . . . . . . . . . . 12
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11
2218, 21eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
2322imbi2d 316 . . . . . . . . 9
24 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
25 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
26 suceq 4948 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11
2824, 27eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
29 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
30 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
31 suceq 4948 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11
3329, 32eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
34 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
35 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
36 suceq 4948 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11
3834, 37eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
39 peano2 6720 . . . . . . . . . . . 12
40 nna0 7272 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11
42 nna0 7272 . . . . . . . . . . . 12
43 suceq 4948 . . . . . . . . . . . 12
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11
4541, 44eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10
46 suceq 4948 . . . . . . . . . . . 12
47 nnasuc 7274 . . . . . . . . . . . . . 14
4839, 47sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
49 nnasuc 7274 . . . . . . . . . . . . . 14
50 suceq 4948 . . . . . . . . . . . . . 14
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5248, 51eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . 12
5346, 52syl5ibr 221 . . . . . . . . . . 11
5453expcom 435 . . . . . . . . . 10
5528, 33, 38, 45, 54finds2 6728 . . . . . . . . 9
5623, 55vtoclga 3173 . . . . . . . 8
5756imp 429 . . . . . . 7
58 nnasuc 7274 . . . . . . 7
5957, 58eqeq12d 2479 . . . . . 6
6017, 59syl5ibr 221 . . . . 5
6160expcom 435 . . . 4
627, 10, 13, 16, 61finds2 6728 . . 3
634, 62vtoclga 3173 . 2
6463imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   c0 3784  succsuc 4885  (class class class)co 6296   com 6700   coa 7146
This theorem is referenced by:  nnaordr  7288  nnmsucr  7293  nnaword2  7298  omopthlem2  7324  omopthi  7325  addcompi  9293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153
  Copyright terms: Public domain W3C validator