MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaordi Unicode version

Theorem nnaordi 7286
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordi

Proof of Theorem nnaordi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 6710 . . . . . 6
21ancoms 453 . . . . 5
32adantll 713 . . . 4
4 nnord 6708 . . . . . . . . 9
5 ordsucss 6653 . . . . . . . . 9
64, 5syl 16 . . . . . . . 8
76ad2antlr 726 . . . . . . 7
8 peano2b 6716 . . . . . . . . . 10
9 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
109sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . 13
1110imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
12 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
1312sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . 13
1413imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
15 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
1615sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . 13
1716imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
18 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
1918sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . 13
2019imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
21 ssid 3522 . . . . . . . . . . . . 13
2221a1ii 27 . . . . . . . . . . . 12
23 sssucid 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
24 sstr2 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2523, 24mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 nnasuc 7274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2726ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2827sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2925, 28syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
3231a2d 26 . . . . . . . . . . . 12
3311, 14, 17, 20, 22, 32findsg 6727 . . . . . . . . . . 11
3433exp31 604 . . . . . . . . . 10
358, 34syl5bi 217 . . . . . . . . 9
3635com4r 86 . . . . . . . 8
3736imp31 432 . . . . . . 7
38 nnasuc 7274 . . . . . . . . . 10
3938sseq1d 3530 . . . . . . . . 9
40 ovex 6324 . . . . . . . . . 10
41 sucssel 4975 . . . . . . . . . 10
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . 9
4339, 42syl6bi 228 . . . . . . . 8
4443adantlr 714 . . . . . . 7
457, 37, 443syld 55 . . . . . 6
4645imp 429 . . . . 5
4746an32s 804 . . . 4
483, 47mpdan 668 . . 3
4948ex 434 . 2
5049ancoms 453 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475  Ordword 4882  succsuc 4885  (class class class)co 6296   com 6700   coa 7146
This theorem is referenced by:  nnaord  7287  nnmordi  7299  addclpi  9291  addnidpi  9300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153
  Copyright terms: Public domain W3C validator