MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnawordex Unicode version

Theorem nnawordex 7305
Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnawordex
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem nnawordex
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 755 . . . . . . . 8
2 nnon 6706 . . . . . . . 8
31, 2syl 16 . . . . . . 7
4 simpll 753 . . . . . . . 8
5 nnaword2 7298 . . . . . . . 8
61, 4, 5syl2anc 661 . . . . . . 7
7 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
87sseq2d 3531 . . . . . . . 8
98elrab 3257 . . . . . . 7
103, 6, 9sylanbrc 664 . . . . . 6
11 intss1 4301 . . . . . 6
1210, 11syl 16 . . . . 5
13 ssrab2 3584 . . . . . . . 8
14 ne0i 3790 . . . . . . . . 9
1510, 14syl 16 . . . . . . . 8
16 oninton 6635 . . . . . . . 8
1713, 15, 16sylancr 663 . . . . . . 7
18 eloni 4893 . . . . . . 7
1917, 18syl 16 . . . . . 6
20 ordom 6709 . . . . . 6
21 ordtr2 4927 . . . . . 6
2219, 20, 21sylancl 662 . . . . 5
2312, 1, 22mp2and 679 . . . 4
24 nna0 7272 . . . . . . . . 9
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8
26 simpr 461 . . . . . . . 8
2725, 26eqsstrd 3537 . . . . . . 7
28 oveq2 6304 . . . . . . . 8
2928sseq1d 3530 . . . . . . 7
3027, 29syl5ibrcom 222 . . . . . 6
31 simprr 757 . . . . . . . . . 10
3231oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
334adantr 465 . . . . . . . . . 10
34 simprl 756 . . . . . . . . . 10
35 nnasuc 7274 . . . . . . . . . 10
3633, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . 9
3732, 36eqtrd 2498 . . . . . . . 8
38 nnord 6708 . . . . . . . . . . 11
391, 38syl 16 . . . . . . . . . 10
4039adantr 465 . . . . . . . . 9
41 nnon 6706 . . . . . . . . . . . . 13
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
43 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
4443sucid 4962 . . . . . . . . . . . . 13
45 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
4644, 45syl5eleqr 2552 . . . . . . . . . . . 12
47 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
4847sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . 13
4948onnminsb 6639 . . . . . . . . . . . 12
5042, 46, 49sylc 60 . . . . . . . . . . 11
5150adantl 466 . . . . . . . . . 10
52 nnacl 7279 . . . . . . . . . . . . . 14
5333, 34, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
54 nnord 6708 . . . . . . . . . . . . 13
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12
56 ordtri1 4916 . . . . . . . . . . . 12
5740, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
5857con2bid 329 . . . . . . . . . 10
5951, 58mpbird 232 . . . . . . . . 9
60 ordsucss 6653 . . . . . . . . 9
6140, 59, 60sylc 60 . . . . . . . 8
6237, 61eqsstrd 3537 . . . . . . 7
6362rexlimdvaa 2950 . . . . . 6
64 nn0suc 6724 . . . . . . 7
6523, 64syl 16 . . . . . 6
6630, 63, 65mpjaod 381 . . . . 5
67 onint 6630 . . . . . . 7
6813, 15, 67sylancr 663 . . . . . 6
69 nfrab1 3038 . . . . . . . . 9
7069nfint 4296 . . . . . . . 8
71 nfcv 2619 . . . . . . . 8
72 nfcv 2619 . . . . . . . . 9
73 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
74 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
7573, 74, 70nfov 6322 . . . . . . . . 9
7672, 75nfss 3496 . . . . . . . 8
77 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
7877sseq2d 3531 . . . . . . . 8
7970, 71, 76, 78elrabf 3255 . . . . . . 7
8079simprbi 464 . . . . . 6
8168, 80syl 16 . . . . 5
8266, 81eqssd 3520 . . . 4
83 oveq2 6304 . . . . . 6
8483eqeq1d 2459 . . . . 5
8584rspcev 3210 . . . 4
8623, 82, 85syl2anc 661 . . 3
8786ex 434 . 2
88 nnaword1 7297 . . . . 5
8988adantlr 714 . . . 4
90 sseq2 3525 . . . 4
9189, 90syl5ibcom 220 . . 3
9291rexlimdva 2949 . 2
9387, 92impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  (class class class)co 6296   com 6700   coa 7146
This theorem is referenced by:  nnaordex  7306  unfilem1  7804  hashdom  12447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153
  Copyright terms: Public domain W3C validator