MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndi Unicode version

Theorem nndi 7291
Description: Distributive law for natural numbers (left-distributivity). Theorem 4K(3) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndi

Proof of Theorem nndi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . 7
21oveq2d 6312 . . . . . 6
3 oveq2 6304 . . . . . . 7
43oveq2d 6312 . . . . . 6
52, 4eqeq12d 2479 . . . . 5
65imbi2d 316 . . . 4
7 oveq2 6304 . . . . . . 7
87oveq2d 6312 . . . . . 6
9 oveq2 6304 . . . . . . 7
109oveq2d 6312 . . . . . 6
118, 10eqeq12d 2479 . . . . 5
12 oveq2 6304 . . . . . . 7
1312oveq2d 6312 . . . . . 6
14 oveq2 6304 . . . . . . 7
1514oveq2d 6312 . . . . . 6
1613, 15eqeq12d 2479 . . . . 5
17 oveq2 6304 . . . . . . 7
1817oveq2d 6312 . . . . . 6
19 oveq2 6304 . . . . . . 7
2019oveq2d 6312 . . . . . 6
2118, 20eqeq12d 2479 . . . . 5
22 nna0 7272 . . . . . . . . 9
2322adantl 466 . . . . . . . 8
2423oveq2d 6312 . . . . . . 7
25 nnmcl 7280 . . . . . . . 8
26 nna0 7272 . . . . . . . 8
2725, 26syl 16 . . . . . . 7
2824, 27eqtr4d 2501 . . . . . 6
29 nnm0 7273 . . . . . . . 8
3029adantr 465 . . . . . . 7
3130oveq2d 6312 . . . . . 6
3228, 31eqtr4d 2501 . . . . 5
33 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
34 nnasuc 7274 . . . . . . . . . . . . 13
35343adant1 1014 . . . . . . . . . . . 12
3635oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
37 nnacl 7279 . . . . . . . . . . . . 13
38 nnmsuc 7275 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 38sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
40393impb 1192 . . . . . . . . . . 11
4136, 40eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
42 nnmsuc 7275 . . . . . . . . . . . . 13
43423adant2 1015 . . . . . . . . . . . 12
4443oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
45 nnmcl 7280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
46 nnaass 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4725, 46syl3an1 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4845, 47syl3an2 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49483exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . 14
5251com4r 86 . . . . . . . . . . . . 13
5352pm2.43i 47 . . . . . . . . . . . 12
54533imp 1190 . . . . . . . . . . 11
5544, 54eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10
5641, 55eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
5733, 56syl5ibr 221 . . . . . . . 8
58573exp 1195 . . . . . . 7
5958com3r 79 . . . . . 6
6059impd 431 . . . . 5
6111, 16, 21, 32, 60finds2 6728 . . . 4
626, 61vtoclga 3173 . . 3
6362expdcom 439 . 2
64633imp 1190 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   c0 3784  succsuc 4885  (class class class)co 6296   com 6700   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  nnmass  7292  distrpi  9297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator