MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnecl Unicode version

Theorem nnecl 7281
Description: Closure of exponentiation of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 24-Mar-2007.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnecl

Proof of Theorem nnecl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . 5
21eleq1d 2526 . . . 4
32imbi2d 316 . . 3
4 oveq2 6304 . . . . 5
54eleq1d 2526 . . . 4
6 oveq2 6304 . . . . 5
76eleq1d 2526 . . . 4
8 oveq2 6304 . . . . 5
98eleq1d 2526 . . . 4
10 nnon 6706 . . . . . 6
11 oe0 7191 . . . . . 6
1210, 11syl 16 . . . . 5
13 df-1o 7149 . . . . . 6
14 peano1 6719 . . . . . . 7
15 peano2 6720 . . . . . . 7
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6
1713, 16eqeltri 2541 . . . . 5
1812, 17syl6eqel 2553 . . . 4
19 nnmcl 7280 . . . . . . . 8
2019expcom 435 . . . . . . 7
2120adantr 465 . . . . . 6
22 nnesuc 7276 . . . . . . 7
2322eleq1d 2526 . . . . . 6
2421, 23sylibrd 234 . . . . 5
2524expcom 435 . . . 4
265, 7, 9, 18, 25finds2 6728 . . 3
273, 26vtoclga 3173 . 2
2827impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   c0 3784   con0 4883  succsuc 4885  (class class class)co 6296   com 6700   c1o 7142   comu 7147   coe 7148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155
  Copyright terms: Public domain W3C validator