MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nneneq Unicode version

Theorem nneneq 7720
Description: Two equinumerous natural numbers are equal. Proposition 10.20 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse. Also compare Corollary 6E of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 28-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
nneneq

Proof of Theorem nneneq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4455 . . . . . 6
2 eqeq1 2461 . . . . . 6
31, 2imbi12d 320 . . . . 5
43ralbidv 2896 . . . 4
5 breq1 4455 . . . . . 6
6 eqeq1 2461 . . . . . 6
75, 6imbi12d 320 . . . . 5
87ralbidv 2896 . . . 4
9 breq1 4455 . . . . . 6
10 eqeq1 2461 . . . . . 6
119, 10imbi12d 320 . . . . 5
1211ralbidv 2896 . . . 4
13 breq1 4455 . . . . . 6
14 eqeq1 2461 . . . . . 6
1513, 14imbi12d 320 . . . . 5
1615ralbidv 2896 . . . 4
17 ensym 7584 . . . . . 6
18 en0 7598 . . . . . . 7
19 eqcom 2466 . . . . . . 7
2018, 19bitri 249 . . . . . 6
2117, 20sylib 196 . . . . 5
2221rgenw 2818 . . . 4
23 nn0suc 6724 . . . . . . 7
24 en0 7598 . . . . . . . . . . . 12
25 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . 13
26 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . 13
2725, 26bibi12d 321 . . . . . . . . . . . 12
2824, 27mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11
2928biimpd 207 . . . . . . . . . 10
3029a1i 11 . . . . . . . . 9
31 nfv 1707 . . . . . . . . . . 11
32 nfra1 2838 . . . . . . . . . . 11
3331, 32nfan 1928 . . . . . . . . . 10
34 nfv 1707 . . . . . . . . . 10
35 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . 14
36 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3836, 37phplem4 7719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3938imim1d 75 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4039ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140a2d 26 . . . . . . . . . . . . . 14
4235, 41syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13
4342imp 429 . . . . . . . . . . . 12
44 suceq 4948 . . . . . . . . . . . 12
4543, 44syl8 70 . . . . . . . . . . 11
46 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . 13
47 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . 13
4846, 47imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
4948biimprcd 225 . . . . . . . . . . 11
5045, 49syl6 33 . . . . . . . . . 10
5133, 34, 50rexlimd 2941 . . . . . . . . 9
5230, 51jaod 380 . . . . . . . 8
5352ex 434 . . . . . . 7
5423, 53syl7 68 . . . . . 6
5554ralrimdv 2873 . . . . 5
56 breq2 4456 . . . . . . 7
57 eqeq2 2472 . . . . . . 7
5856, 57imbi12d 320 . . . . . 6
5958cbvralv 3084 . . . . 5
6055, 59syl6ib 226 . . . 4
614, 8, 12, 16, 22, 60finds 6726 . . 3
62 breq2 4456 . . . . 5
63 eqeq2 2472 . . . . 5
6462, 63imbi12d 320 . . . 4
6564rspcv 3206 . . 3
6661, 65mpan9 469 . 2
67 eqeng 7569 . . 3
6867adantr 465 . 2
6966, 68impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   c0 3784   class class class wbr 4452  succsuc 4885   com 6700   cen 7533
This theorem is referenced by:  php  7721  onomeneq  7727  nnsdomo  7732  fineqvlem  7754  dif1enOLD  7772  dif1en  7773  findcard2  7780  cardnn  8365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator