Theorem nneneq 7720

Description: Two equinumerous natural numbers are equal. Proposition 10.20 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse. Also compare Corollary 6E of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nneneq

Proof of Theorem nneneq

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4455	. . . . . 6
2		eqeq1 2461	. . . . . 6
3	1, 2	imbi12d 320	. . . . 5
4	3	ralbidv 2896	. . . 4
5		breq1 4455	. . . . . 6
6		eqeq1 2461	. . . . . 6
7	5, 6	imbi12d 320	. . . . 5
8	7	ralbidv 2896	. . . 4
9		breq1 4455	. . . . . 6
10		eqeq1 2461	. . . . . 6
11	9, 10	imbi12d 320	. . . . 5
12	11	ralbidv 2896	. . . 4
13		breq1 4455	. . . . . 6
14		eqeq1 2461	. . . . . 6
15	13, 14	imbi12d 320	. . . . 5
16	15	ralbidv 2896	. . . 4
17		ensym 7584	. . . . . 6
18		en0 7598	. . . . . . 7
19		eqcom 2466	. . . . . . 7
20	18, 19	bitri 249	. . . . . 6
21	17, 20	sylib 196	. . . . 5
22	21	rgenw 2818	. . . 4
23		nn0suc 6724	. . . . . . 7
24		en0 7598	. . . . . . . . . . . 12
25		breq2 4456	. . . . . . . . . . . . 13
26		eqeq2 2472	. . . . . . . . . . . . 13
27	25, 26	bibi12d 321	. . . . . . . . . . . 12
28	24, 27	mpbiri 233	. . . . . . . . . . 11
29	28	biimpd 207	. . . . . . . . . 10
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9
31		nfv 1707	. . . . . . . . . . 11
32		nfra1 2838	. . . . . . . . . . 11
33	31, 32	nfan 1928	. . . . . . . . . 10
34		nfv 1707	. . . . . . . . . 10
35		rsp 2823	. . . . . . . . . . . . . 14
36		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38	36, 37	phplem4 7719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
39	38	imim1d 75	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	39	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	a2d 26	. . . . . . . . . . . . . 14
42	35, 41	syl5 32	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	imp 429	. . . . . . . . . . . 12
44		suceq 4948	. . . . . . . . . . . 12
45	43, 44	syl8 70	. . . . . . . . . . 11
46		breq2 4456	. . . . . . . . . . . . 13
47		eqeq2 2472	. . . . . . . . . . . . 13
48	46, 47	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12
49	48	biimprcd 225	. . . . . . . . . . 11
50	45, 49	syl6 33	. . . . . . . . . 10
51	33, 34, 50	rexlimd 2941	. . . . . . . . 9
52	30, 51	jaod 380	. . . . . . . 8
53	52	ex 434	. . . . . . 7
54	23, 53	syl7 68	. . . . . 6
55	54	ralrimdv 2873	. . . . 5
56		breq2 4456	. . . . . . 7
57		eqeq2 2472	. . . . . . 7
58	56, 57	imbi12d 320	. . . . . 6
59	58	cbvralv 3084	. . . . 5
60	55, 59	syl6ib 226	. . . 4
61	4, 8, 12, 16, 22, 60	finds 6726	. . 3
62		breq2 4456	. . . . 5
63		eqeq2 2472	. . . . 5
64	62, 63	imbi12d 320	. . . 4
65	64	rspcv 3206	. . 3
66	61, 65	mpan9 469	. 2
67		eqeng 7569	. . 3
68	67	adantr 465	. 2
69	66, 68	impbid 191	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  c0 3784   class class class wbr 4452  succsuc 4885  com 6700  cen 7533

This theorem is referenced by:  php  7721  onomeneq  7727  nnsdomo  7732  fineqvlem  7754  dif1enOLD  7772  dif1en  7773  findcard2  7780  cardnn  8365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537