Theorem nnenom 12090

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 8081	. . 3
2		nn0ex 10826	. . 3
3		eqid 2457	. . . 4
4	3	hashgf1o 12081	. . 3
5		f1oen2g 7552	. . 3
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1324	. 2
7		nn0ennn 12089	. 2
8	6, 7	entr2i 7590	1

Syntax hints:  e.wcel 1818  cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  |`cres 5006  -1-1-onto->wf1o 5592  (class class class)co 6296  com 6700  reccrdg 7094  cen 7533  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cn 10561  cn0 10820

This theorem is referenced by:  supcvg  13667  xpnnen  13942  xpomenOLD  13944  znnen  13946  qnnen  13947  rexpen  13961  aleph1re  13978  aleph1irr  13979  bitsf1  14096  unben  14427  odinf  16585  odhash  16594  cygctb  16894  1stcfb  19946  2ndcredom  19951  1stcelcls  19962  hauspwdom  20002  met1stc  21024  met2ndci  21025  re2ndc  21306  iscmet3  21732  ovolctb2  21903  ovolfi  21905  ovoliunlem3  21915  iunmbl2  21967  uniiccdif  21987  dyadmbl  22009  opnmblALT  22012  mbfimaopnlem  22062  itg2seq  22149  aannenlem3  22726  dirith2  23713  nmounbseqi  25692  nmobndseqi  25694  minvecolem5  25797  nnct  27529  dmvlsiga  28129  volmeas  28203  mblfinlem1  30051  ovoliunnfl  30056  heiborlem3  30309  heibor  30317  lzenom  30703  fiphp3d  30753  irrapx1  30764  pellex  30771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111