MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nneo Unicode version

Theorem nneo 10971
Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneo

Proof of Theorem nneo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 10569 . . . . . 6
2 peano2cn 9773 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
4 2cn 10631 . . . . . 6
54a1i 11 . . . . 5
6 2ne0 10653 . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5
83, 5, 7divcan2d 10347 . . . 4
91, 5, 7divcan2d 10347 . . . . 5
109oveq1d 6311 . . . 4
118, 10eqtr4d 2501 . . 3
12 nnz 10911 . . . . . 6
13 nnz 10911 . . . . . 6
14 zneo 10970 . . . . . 6
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . 5
1615expcom 435 . . . 4
1716necon2bd 2672 . . 3
1811, 17syl5com 30 . 2
19 oveq1 6303 . . . . . . 7
2019oveq1d 6311 . . . . . 6
2120eleq1d 2526 . . . . 5
22 oveq1 6303 . . . . . 6
2322eleq1d 2526 . . . . 5
2421, 23orbi12d 709 . . . 4
25 oveq1 6303 . . . . . . 7
2625oveq1d 6311 . . . . . 6
2726eleq1d 2526 . . . . 5
28 oveq1 6303 . . . . . 6
2928eleq1d 2526 . . . . 5
3027, 29orbi12d 709 . . . 4
31 oveq1 6303 . . . . . . 7
3231oveq1d 6311 . . . . . 6
3332eleq1d 2526 . . . . 5
34 oveq1 6303 . . . . . 6
3534eleq1d 2526 . . . . 5
3633, 35orbi12d 709 . . . 4
37 oveq1 6303 . . . . . . 7
3837oveq1d 6311 . . . . . 6
3938eleq1d 2526 . . . . 5
40 oveq1 6303 . . . . . 6
4140eleq1d 2526 . . . . 5
4239, 41orbi12d 709 . . . 4
43 df-2 10619 . . . . . . . 8
4443oveq1i 6306 . . . . . . 7
45 2div2e1 10683 . . . . . . 7
4644, 45eqtr3i 2488 . . . . . 6
47 1nn 10572 . . . . . 6
4846, 47eqeltri 2541 . . . . 5
4948orci 390 . . . 4
50 peano2nn 10573 . . . . . . 7
51 nncn 10569 . . . . . . . . 9
52 add1p1 10813 . . . . . . . . . . 11
5352oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
54 2cnne0 10775 . . . . . . . . . . . 12
55 divdir 10255 . . . . . . . . . . . 12
564, 54, 55mp3an23 1316 . . . . . . . . . . 11
5745oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11
5856, 57syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
5953, 58eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
6051, 59syl 16 . . . . . . . 8
6160eleq1d 2526 . . . . . . 7
6250, 61syl5ibr 221 . . . . . 6
6362orim2d 840 . . . . 5
64 orcom 387 . . . . 5
6563, 64syl6ib 226 . . . 4
6624, 30, 36, 42, 49, 65nnind 10579 . . 3
6766ord 377 . 2
6818, 67impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cz 10889
This theorem is referenced by:  nneoi  10972  zeo  10973  ovolunlem1a  21907  ovolunlem1  21908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator