MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nneob Unicode version

Theorem nneob 7320
Description: A natural number is even iff its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneob
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem nneob
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . 5
21eqeq2d 2471 . . . 4
32cbvrexv 3085 . . 3
4 nnneo 7319 . . . . . . 7
543com23 1202 . . . . . 6
653expa 1196 . . . . 5
76nrexdv 2913 . . . 4
87rexlimiva 2945 . . 3
93, 8sylbi 195 . 2
10 suceq 4948 . . . . . . 7
1110eqeq1d 2459 . . . . . 6
1211rexbidv 2968 . . . . 5
1312notbid 294 . . . 4
14 eqeq1 2461 . . . . 5
1514rexbidv 2968 . . . 4
1613, 15imbi12d 320 . . 3
17 suceq 4948 . . . . . . 7
1817eqeq1d 2459 . . . . . 6
1918rexbidv 2968 . . . . 5
2019notbid 294 . . . 4
21 eqeq1 2461 . . . . 5
2221rexbidv 2968 . . . 4
2320, 22imbi12d 320 . . 3
24 suceq 4948 . . . . . . 7
2524eqeq1d 2459 . . . . . 6
2625rexbidv 2968 . . . . 5
2726notbid 294 . . . 4
28 eqeq1 2461 . . . . 5
2928rexbidv 2968 . . . 4
3027, 29imbi12d 320 . . 3
31 suceq 4948 . . . . . . 7
3231eqeq1d 2459 . . . . . 6
3332rexbidv 2968 . . . . 5
3433notbid 294 . . . 4
35 eqeq1 2461 . . . . 5
3635rexbidv 2968 . . . 4
3734, 36imbi12d 320 . . 3
38 peano1 6719 . . . . 5
39 eqid 2457 . . . . 5
40 oveq2 6304 . . . . . . . 8
41 om0x 7188 . . . . . . . 8
4240, 41syl6eq 2514 . . . . . . 7
4342eqeq2d 2471 . . . . . 6
4443rspcev 3210 . . . . 5
4538, 39, 44mp2an 672 . . . 4
4645a1i 11 . . 3
471eqeq2d 2471 . . . . . . 7
4847cbvrexv 3085 . . . . . 6
49 peano2 6720 . . . . . . . . . 10
50 2onn 7308 . . . . . . . . . . . 12
51 nnmsuc 7275 . . . . . . . . . . . 12
5250, 51mpan 670 . . . . . . . . . . 11
53 df-2o 7150 . . . . . . . . . . . . 13
5453oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12
55 nnmcl 7280 . . . . . . . . . . . . . 14
5650, 55mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13
57 1onn 7307 . . . . . . . . . . . . 13
58 nnasuc 7274 . . . . . . . . . . . . 13
5956, 57, 58sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
6054, 59syl5req 2511 . . . . . . . . . . 11
61 nnon 6706 . . . . . . . . . . . 12
62 oa1suc 7200 . . . . . . . . . . . 12
63 suceq 4948 . . . . . . . . . . . 12
6456, 61, 62, 634syl 21 . . . . . . . . . . 11
6552, 60, 643eqtr2rd 2505 . . . . . . . . . 10
66 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
6766eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
6867rspcev 3210 . . . . . . . . . 10
6949, 65, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9
70 suceq 4948 . . . . . . . . . . . 12
71 suceq 4948 . . . . . . . . . . . 12
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11
7372eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
7473rexbidv 2968 . . . . . . . . 9
7569, 74syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8
7675rexlimiv 2943 . . . . . . 7
7776a1i 11 . . . . . 6
7848, 77syl5bi 217 . . . . 5
7978con3d 133 . . . 4
80 con1 128 . . . 4
8179, 80syl9 71 . . 3
8216, 23, 30, 37, 46, 81finds 6726 . 2
839, 82impbid2 204 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   c0 3784   con0 4883  succsuc 4885  (class class class)co 6296   com 6700   c1o 7142   c2o 7143   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator