MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnex Unicode version

Theorem nnex 10567
Description: The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnex

Proof of Theorem nnex
StepHypRef Expression
1 cnex 9594 . 2
2 nnsscn 10566 . 2
31, 2ssexi 4597 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  e.wcel 1818   cvv 3109   cc 9511   cn 10561
This theorem is referenced by:  dfnn2  10574  nn0ex  10826  nn0ennn  12089  isercolllem2  13488  supcvg  13667  trireciplem  13673  expcnv  13675  geo2lim  13684  xpnnenOLD  13943  qnnen  13947  rpnnen2lem1  13948  rpnnen2lem2  13949  rpnnen  13960  rucALT  13963  unbenlem  14426  vdwapfval  14489  vdwapf  14490  vdwlem6  14504  vdwlem7  14505  vdwlem8  14506  vdwlem11  14509  ndxarg  14652  odval  16558  gexval  16598  ablfac1b  17121  pnrmopn  19844  1stcfb  19946  hausmapdom  20001  met1stc  21024  met2ndci  21025  rectbntr0  21337  metcld2  21745  elovolm  21886  elovolmr  21887  ovolmge0  21888  ovolgelb  21891  ovolctb  21901  ovol0  21904  ovolunlem1a  21907  ovolunlem1  21908  ovoliunlem1  21913  ovoliunlem2  21914  ovolshftlem2  21921  ovolicc2  21933  ioombl1  21972  mbfimaopnlem  22062  itg1climres  22121  mbfi1fseqlem6  22127  mbfi1flimlem  22129  mbfmullem2  22131  itg2monolem1  22157  itg2addlem  22165  plyeq0lem  22607  leibpi  23273  dfef2  23300  emcllem4  23328  emcllem6  23330  emcllem7  23331  basellem6  23359  basellem7  23360  basellem8  23361  basellem9  23362  vmaval  23387  sqff1o  23456  0sgmppw  23473  dchrisumlem3  23676  dirith2  23713  iseupa  24965  nmounbseqiOLD  25693  nmobndseqiOLD  25695  h2hcau  25896  h2hlm  25897  hcau  26101  hlimi  26105  hlimadd  26110  hhcms  26120  isch2  26141  chlimi  26152  hlim0  26153  hhsscms  26195  lmdvg  27935  esumfsup  28076  esumpcvgval  28084  esumcvg  28092  measiun  28189  voliune  28201  eulerpartlems  28299  eulerpartleme  28302  eulerpartlem1  28306  eulerpartlemb  28307  eulerpartlemt  28310  eulerpartgbij  28311  eulerpartlemr  28313  eulerpartlemmf  28314  eulerpartlemgvv  28315  eulerpartlemgf  28318  eulerpartlemgs2  28319  eulerpartlemn  28320  lgamgulmlem6  28576  lgamcvg2  28597  sinccvglem  29038  circum  29040  divcnvlin  29118  faclimlem2  29169  faclim2  29173  colinearex  29710  voliunnfl  30058  volsupnfl  30059  lmclim2  30251  geomcau  30252  rrncmslem  30328  eldioph3b  30698  lzenom  30703  diophin  30706  diophun  30707  pellexlem3  30767  pellexlem4  30768  pellexlem5  30769  hashnzfzclim  31227  dvradcnv2  31252  binomcxplemcvg  31259  binomcxplemdvsum  31260  binomcxplemnotnn0  31261  clim1fr1  31607  divcnvg  31633  wallispilem5  31851  wallispi  31852  stirlinglem1  31856  stirlinglem8  31863  stirlinglem14  31869  stirlinglem15  31870  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  fourierdlem112  32001  nnsgrpmgm  32504  nnsgrp  32505  nnsgrpnmnd  32506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-nn 10562
  Copyright terms: Public domain W3C validator