Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcl Unicode version

Theorem nnexpcl 12179
 Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnexpcl

Proof of Theorem nnexpcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10566 . 2
2 nnmulcl 10584 . 2
3 1nn 10572 . 2
41, 2, 3expcllem 12177 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cn 10561   cn0 10820   cexp 12166 This theorem is referenced by:  digit1  12300  nnexpcld  12331  faclbnd4lem3  12373  faclbnd5  12376  climcndslem1  13661  climcndslem2  13662  climcnds  13663  harmonic  13670  geo2sum  13682  geo2lim  13684  ege2le3  13825  eftlub  13844  ef01bndlem  13919  xpnnenOLD  13943  phiprmpw  14306  pcdvdsb  14392  pcmptcl  14410  pcfac  14418  pockthi  14425  prmreclem3  14436  prmreclem5  14438  prmreclem6  14439  modxai  14554  1259lem5  14617  2503lem3  14621  4001lem4  14626  ovollb2lem  21899  ovoliunlem1  21913  ovoliunlem3  21915  dyadf  22000  dyadovol  22002  dyadss  22003  dyaddisjlem  22004  dyadmaxlem  22006  opnmbllem  22010  mbfi1fseqlem1  22122  mbfi1fseqlem3  22124  mbfi1fseqlem4  22125  mbfi1fseqlem5  22126  mbfi1fseqlem6  22127  aalioulem1  22728  aaliou2b  22737  aaliou3lem9  22746  log2cnv  23275  log2tlbnd  23276  log2ublem1  23277  log2ublem2  23278  log2ub  23280  vmappw  23390  sgmnncl  23421  dvdsppwf1o  23462  0sgmppw  23473  1sgm2ppw  23475  vmasum  23491  mersenne  23502  perfect1  23503  perfectlem1  23504  perfectlem2  23505  perfect  23506  pcbcctr  23551  bclbnd  23555  bposlem2  23560  bposlem6  23564  bposlem8  23566  chebbnd1lem1  23654  rplogsumlem2  23670  ostth2lem3  23820  ostth3  23823  oddpwdc  28293  zetacvg  28557  faclim2  29173  opnmbllem0  30050  heiborlem3  30309  heiborlem5  30311  heiborlem6  30312  heiborlem7  30313  heiborlem8  30314  heibor  30317 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
 Copyright terms: Public domain W3C validator