MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnge1 Unicode version

Theorem nnge1 10587
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1

Proof of Theorem nnge1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4456 . 2
2 breq2 4456 . 2
3 breq2 4456 . 2
4 breq2 4456 . 2
5 1le1 10202 . 2
6 nnre 10568 . . 3
7 recn 9603 . . . . . 6
87addid1d 9801 . . . . 5
98breq2d 4464 . . . 4
10 0lt1 10100 . . . . . . . 8
11 0re 9617 . . . . . . . . 9
12 1re 9616 . . . . . . . . 9
13 axltadd 9679 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13mp3an12 1314 . . . . . . . 8
1510, 14mpi 17 . . . . . . 7
16 readdcl 9596 . . . . . . . . 9
1711, 16mpan2 671 . . . . . . . 8
18 peano2re 9774 . . . . . . . 8
19 lttr 9682 . . . . . . . . 9
2012, 19mp3an3 1313 . . . . . . . 8
2117, 18, 20syl2anc 661 . . . . . . 7
2215, 21mpand 675 . . . . . 6
2322con3d 133 . . . . 5
24 lenlt 9684 . . . . . 6
2512, 17, 24sylancr 663 . . . . 5
26 lenlt 9684 . . . . . 6
2712, 18, 26sylancr 663 . . . . 5
2823, 25, 273imtr4d 268 . . . 4
299, 28sylbird 235 . . 3
306, 29syl 16 . 2
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 10579 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cn 10561
This theorem is referenced by:  nngt1ne1  10588  nnle1eq1  10589  nngt0  10590  nnnlt1  10591  nnrecgt0  10598  nnge1d  10603  elnnnn0c  10866  elnnz1  10915  zltp1le  10938  elfz1b  11777  fzo1fzo0n0  11864  elfzom1elp1fzo  11883  fzo0sn0fzo1  11902  nnlesq  12271  digit1  12300  faclbnd  12368  faclbnd3  12370  faclbnd4lem1  12371  faclbnd4lem4  12374  fstwrdne0  12581  swrdn0  12655  swrdtrcfv  12668  swrdccatwrd  12693  divalglem1  14052  isprm3  14226  pockthg  14424  infpn2  14431  chfacfpmmulgsum2  19366  dscmet  21093  ovolunlem1a  21907  vitali  22022  plyeq0lem  22607  logtayllem  23040  leibpi  23273  vmalelog  23480  chtublem  23486  logfaclbnd  23497  bposlem1  23559  dchrisum0lem1  23701  logdivbnd  23741  pntlemn  23785  ostth2lem3  23820  clwwisshclwwlem  24806  clwlkfclwwlk  24844  eulerpartlems  28299  eulerpartlemb  28307  ballotlem2  28427  fz0n  29110  nndivlub  29923  fzsplit1nn0  30687  pell1qrgaplem  30809  pellqrex  30815  monotoddzzfi  30878  jm2.23  30938  sumnnodd  31636  dvnmul  31740  wallispilem4  31850  wallispilem5  31851  wallispi  31852  wallispi2lem1  31853  stirlinglem5  31860  stirlinglem13  31868  dirkertrigeqlem1  31880  fouriersw  32014  etransclem24  32041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562
  Copyright terms: Public domain W3C validator