Theorem nnind 10579

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. See nnaddcl 10583 for an example of its use. See nn0ind 10984 for induction on nonnegative integers and uzind 10979, uzind4 11168 for induction on an arbitrary upper set of integers. See indstr 11179 for strong induction. See also nnindALT 10580. This is an alternative for Metamath 100 proof #74. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnind.1
nnind.2
nnind.3
nnind.4
nnind.5
nnind.6

Assertion

Ref	Expression
nnind

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem nnind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10572	. . . . . 6
2		nnind.5	. . . . . 6
3		nnind.1	. . . . . . 7
4	3	elrab 3257	. . . . . 6
5	1, 2, 4	mpbir2an 920	. . . . 5
6		elrabi 3254	. . . . . . 7
7		peano2nn 10573	. . . . . . . . . 10
8	7	a1d 25	. . . . . . . . 9
9		nnind.6	. . . . . . . . 9
10	8, 9	anim12d 563	. . . . . . . 8
11		nnind.2	. . . . . . . . 9
12	11	elrab 3257	. . . . . . . 8
13		nnind.3	. . . . . . . . 9
14	13	elrab 3257	. . . . . . . 8
15	10, 12, 14	3imtr4g 270	. . . . . . 7
16	6, 15	mpcom 36	. . . . . 6
17	16	rgen 2817	. . . . 5
18		peano5nni 10564	. . . . 5
19	5, 17, 18	mp2an 672	. . . 4
20	19	sseli 3499	. . 3
21		nnind.4	. . . 4
22	21	elrab 3257	. . 3
23	20, 22	sylib 196	. 2
24	23	simprd 463	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  C_wss 3475  (class class class)co 6296  1c1 9514  caddc 9516  cn 10561

This theorem is referenced by:  nnindALT  10580  nn1m1nn  10581  nnaddcl  10583  nnmulcl  10584  nnge1  10587  nnsub  10599  nneo  10971  peano5uzi  10976  uzindOLD  10982  nn0ind-raph  10989  ser1const  12163  expcllem  12177  expeq0  12196  seqcoll  12512  climcndslem2  13662  sqrt2irr  13982  gcdmultiple  14188  rplpwr  14194  prmind2  14228  prmdvdsexp  14255  eulerthlem2  14312  pcmpt  14411  prmpwdvds  14422  vdwlem10  14508  mulgnnass  16170  imasdsf1olem  20876  ovolunlem1a  21907  ovolicc2lem3  21930  voliunlem1  21960  volsup  21966  dvexp  22356  plyco  22638  dgrcolem1  22670  vieta1  22708  emcllem6  23330  bposlem5  23563  2sqlem10  23649  dchrisum0flb  23695  iuninc  27428  ofldchr  27804  nexple  28005  esumfzf  28075  rrvsum  28393  subfacp1lem6  28629  cvmliftlem10  28739  faclimlem1  29168  incsequz  30241  bfplem1  30318  2nn0ind  30881  expmordi  30883  fmuldfeq  31577  dvnmptconst  31738  stoweidlem20  31802  wallispilem4  31850  wallispi2lem1  31853  wallispi2lem2  31854  dirkertrigeqlem1  31880  inductionexd  37967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-1cn 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-nn 10562