MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnm1nn0 Unicode version

Theorem nnm1nn0 10862
Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1nn0

Proof of Theorem nnm1nn0
StepHypRef Expression
1 nn1m1nn 10581 . . . 4
2 oveq1 6303 . . . . . 6
3 1m1e0 10629 . . . . . 6
42, 3syl6eq 2514 . . . . 5
54orim1i 517 . . . 4
61, 5syl 16 . . 3
76orcomd 388 . 2
8 elnn0 10822 . 2
97, 8sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820
This theorem is referenced by:  elnn0nn  10863  nn0n0n1ge2  10884  nnaddm1cl  10945  fseq1m1p1  11782  elfznelfzo  11915  nn0ennn  12089  expm1t  12194  expgt1  12204  digit1  12300  bcn1  12391  bcm1k  12393  bcn2m1  12402  lswcl  12589  wrdeqswrdlsw  12674  swrdccatwrd  12693  wrdeqcats1  12699  cshwidxn  12779  isercoll2  13491  iseralt  13507  binomlem  13641  incexc  13649  incexc2  13650  arisum  13671  arisum2  13672  mertenslem2  13694  ruclem12  13974  iddvdsexp  14007  dvdsfac  14041  oexpneg  14049  bitsfzolem  14084  bitsf1  14096  phibnd  14301  phiprmpw  14306  prmdiv  14315  oddprm  14339  iserodd  14359  fldivp1  14416  prmpwdvds  14422  4sqlem12  14474  4sqlem19  14481  vdwapid1  14493  vdwlem1  14499  vdwlem3  14501  vdwlem5  14503  vdwlem6  14504  vdwlem9  14507  0ram  14538  ram0  14540  ramub1lem1  14544  ramub1lem2  14545  ramcl  14547  1259lem5  14617  2503lem3  14621  4001lem4  14626  gsumwsubmcl  16006  gsumccat  16009  gsumwmhm  16013  sylow1lem1  16618  efgsrel  16752  efgredlem  16765  srgbinomlem4  17194  chfacfisf  19355  chfacfisfcpmat  19356  cpmadugsumlemF  19377  lebnumii  21466  ovolunlem1  21908  dvexp  22356  dgreq0  22662  dvply1  22680  vieta1lem2  22707  aaliou3lem8  22741  dvtaylp  22765  taylthlem1  22768  pserdvlem2  22823  pserdv2  22825  abelthlem6  22831  logtayl  23041  logtayl2  23043  cxpeq  23131  leibpilem1  23271  wilthlem1  23342  wilthlem2  23343  wilthlem3  23344  wilth  23345  ftalem1  23346  basellem5  23358  1sgm2ppw  23475  chtublem  23486  perfect1  23503  perfect  23506  bcmono  23552  lgslem1  23571  lgsquadlem1  23629  lgsquad2lem2  23634  m1lgs  23637  selberg2lem  23735  logdivbnd  23741  pntrsumo1  23750  cusgrasize2inds  24477  wlkiswwlk2lem1  24691  clwlkisclwwlklem2a2  24780  clwwlkel  24793  wwlksubclwwlk  24804  cusgraisrusgra  24938  eupares  24975  frghash2spot  25063  gxsuc  25274  fibp1  28340  plymulx0  28504  plymulx  28505  signstfvn  28526  signsvtn0  28527  gamfac  28609  subfacp1lem6  28629  erdszelem10  28644  erdsze2lem1  28647  erdsze2lem2  28648  cvmliftlem2  28731  risefallfac  29146  fallfacfwd  29158  0fallfac  29159  bpolydiflem  29816  irrapxlem1  30758  rmspecsqrtnq  30842  jm2.24nn  30897  jm2.17a  30898  acongeq  30921  jm2.18  30930  jm2.22  30937  jm2.23  30938  jm2.20nn  30939  jm2.27c  30949  bccm1k  31247  binomcxplemwb  31253  binomcxplemnotnn0  31261  dvsinexp  31705  dvxpaek  31737  dvnxpaek  31739  itgsinexplem1  31752  itgsinexp  31753  wallispilem5  31851  stirlinglem5  31860  fourierdlem48  31937  fourierdlem49  31938  fourierdlem52  31941  fourierdlem54  31943  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  etransclem1  32018  etransclem4  32021  etransclem8  32025  etransclem10  32027  etransclem14  32031  etransclem15  32032  etransclem17  32034  etransclem18  32035  etransclem19  32036  etransclem20  32037  etransclem21  32038  etransclem22  32039  etransclem23  32040  etransclem24  32041  etransclem27  32044  etransclem28  32045  etransclem32  32049  etransclem35  32052  etransclem37  32054  etransclem38  32055  etransclem41  32058  etransclem44  32061  etransclem45  32062  etransclem46  32063  etransclem47  32064  etransclem48  32065  lswn0  32343  bcpascm1  32940  altgsumbcALT  32942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-nn 10562  df-n0 10821
  Copyright terms: Public domain W3C validator