Theorem nnmass 7292

Description: Multiplication of natural numbers is associative. Theorem 4K(4) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmass

Proof of Theorem nnmass

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . . 6
2		oveq2 6304	. . . . . . 7
3	2	oveq2d 6312	. . . . . 6
4	1, 3	eqeq12d 2479	. . . . 5
5	4	imbi2d 316	. . . 4
6		oveq2 6304	. . . . . 6
7		oveq2 6304	. . . . . . 7
8	7	oveq2d 6312	. . . . . 6
9	6, 8	eqeq12d 2479	. . . . 5
10		oveq2 6304	. . . . . 6
11		oveq2 6304	. . . . . . 7
12	11	oveq2d 6312	. . . . . 6
13	10, 12	eqeq12d 2479	. . . . 5
14		oveq2 6304	. . . . . 6
15		oveq2 6304	. . . . . . 7
16	15	oveq2d 6312	. . . . . 6
17	14, 16	eqeq12d 2479	. . . . 5
18		nnmcl 7280	. . . . . . 7
19		nnm0 7273	. . . . . . 7
20	18, 19	syl 16	. . . . . 6
21		nnm0 7273	. . . . . . . 8
22	21	oveq2d 6312	. . . . . . 7
23		nnm0 7273	. . . . . . 7
24	22, 23	sylan9eqr 2520	. . . . . 6
25	20, 24	eqtr4d 2501	. . . . 5
26		oveq1 6303	. . . . . . . . 9
27		nnmsuc 7275	. . . . . . . . . . 11
28	18, 27	stoic3 1609	. . . . . . . . . 10
29		nnmsuc 7275	. . . . . . . . . . . . 13
30	29	3adant1 1014	. . . . . . . . . . . 12
31	30	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11
32		nnmcl 7280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33		nndi 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
34	32, 33	syl3an2 1262	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	34	3exp 1195	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	35	expd 436	. . . . . . . . . . . . . 14
37	36	com34 83	. . . . . . . . . . . . 13
38	37	pm2.43d 48	. . . . . . . . . . . 12
39	38	3imp 1190	. . . . . . . . . . 11
40	31, 39	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
41	28, 40	eqeq12d 2479	. . . . . . . . 9
42	26, 41	syl5ibr 221	. . . . . . . 8
43	42	3exp 1195	. . . . . . 7
44	43	com3r 79	. . . . . 6
45	44	impd 431	. . . . 5
46	9, 13, 17, 25, 45	finds2 6728	. . . 4
47	5, 46	vtoclga 3173	. . 3
48	47	expdcom 439	. 2
49	48	3imp 1190	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  c0 3784  succsuc 4885  (class class class)co 6296  com 6700  coa 7146  comu 7147

This theorem is referenced by:  mulasspi  9296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154